解:(1)∵橢圓C:
(a>0,b>0)過點P(
),∴
∵向量
,∴4c
2=2+(
-c)
2+2+(
-c)
2,∴c=2
又a
2=b
2+c
2,∴a
2=12,b
2=4
∴橢圓方程為
(2)①當斜率k不存在時,由于點M不是線段AB的中點,所以不符合要求;
②當斜率k存在時,設直線l方程為y+
=k(x-
),代入橢圓方程整理得
(3+k
2)x
2-(k
2+3k)x+
k
2-
=0
∵線段AB中點為m(
),∴
=
∴k=1
∴直線l:x-y-2=0
(3)化簡曲線方程得:(x-m)
2+(y+2)
2=8,是以(m,-2)為圓心,2
為半徑的圓.
表示圓心在直線y=-2上,半徑為2
的動圓.
由于要求實數(shù)m的最小值,由圖可知,只須考慮m<0的情形.
當圓與直線相切時,
,此時為m=-4,圓心(-4,-2).
當m=-4時,過點G(-4,-2)與直線l垂直的直線l'的方程為x+y+6=0,
解方程組
,得T(-2,-4).
因為區(qū)域D內(nèi)的點的橫坐標的最小值與最大值分別為-1,2,
所以切點T∉D,由圖可知當⊙G過點B時,m取得最小值,即(-1-m)
2+(-3+2)
2=8,解得m
min=-
-1.
分析:(1)把點B代入橢圓的方程,利用向量垂直,及幾何量之間的關系,聯(lián)立方程求得a和b,則橢圓的方程可得;
(2)分類討論,利用線段AB中點坐標,結合韋達定理,可求直線的方程;
(3)把圓的方程整理成標準方程求得圓心和半徑,進而利用圖象可知只須考慮m<0的情形.設出圓與直線的切點,利用點到直線的距離求得m,進而可求得過點G與直線l垂直的直線的方程,把兩直線方程聯(lián)立求得T,因為區(qū)域D內(nèi)的點的橫坐標的最小值與最大值分別為-1,2,所以切點T∉D,由圖可知當⊙G過點B時,m取得最小值,利用兩點間的距離公式求得m的最小值.
點評:本題考查橢圓與直線的方程,考查直線與圓錐曲線的綜合問題,同時考查了知識的綜合運用和數(shù)形結合的方法的應用.