Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

1

3

mx3+(4+m)x2，g(x)=alnx，其中a≠0．
（ I ）若函數(shù)y=g（x）圖象恒過(guò)定點(diǎn)P，且點(diǎn)P在y=f（x）的圖象上，求m的值；
（Ⅱ）當(dāng)a=8時(shí)，設(shè)F（x）=f′（x）+g（x），討論F（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）在（I）的條件下，設(shè)G(x)=

f(x)，x≤1 g(x)，x＞1

，曲線(xiàn)y=G（x）上是否存在兩點(diǎn)P、Q，使△OPQ（O為原點(diǎn)）是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且該三角形斜邊的中點(diǎn)在y軸上？如果存在，求a的取值范圍；如果不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

（I）令lnx=0，則x=1，即函數(shù)y=g（x）的圖象過(guò)定點(diǎn)P（1，0），
又點(diǎn)P在y=f（x）的圖象上，所以f（1）=

1

3

m+（4+m）=0，
解得m=-3．
（II）F（x）=mx²+2（4+m）x+8lnx，定義域?yàn)椋?，+∞），
F′（x）=2mx+（8+2m）+

8

x

=

2mx2+(8+2m)x+8

x

=

(2mx+8)(x+1)

x

．
∵x＞0，則x+1＞0，
∴當(dāng)m≥0時(shí)，2mx+8＞0，F(xiàn)′（x）＞0，此時(shí)F（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
當(dāng)m＜0時(shí)，由F′（x）＞0得0＜x＜-

4

m

，F(xiàn)′（x）＜0，得x＞-

4

m

，
此時(shí)F（x）在（0，-

4

m

）上為增函數(shù)，在（-

4

m

，+∞）上為減函數(shù)，
綜上，當(dāng)m≥0時(shí)，F(xiàn)（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
m＜0時(shí)，在（0，-

4

m

）上為增函數(shù)，在（-

4

m

，+∞）上為減函數(shù)．
（III）由條件（I）知G（x）=

-x3+x2，x≤1 alnx，x＞1

，
假設(shè)曲線(xiàn)y=G（x）上存在兩點(diǎn)P、Q滿(mǎn)足題意，則P、Q兩點(diǎn)只能在y軸兩側(cè)，
設(shè)P（t，G（t））（t＞0），則Q（-t，t³+t²），
∵∠POQ是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，
∴

OP

•

OQ

=0，∴-t²+G（t）（t³+t²）=0①．
（1）當(dāng)0＜t≤1時(shí)，G（t）=-t³+t²，
此時(shí)方程①為-t²+（-t³+t²）（t³+t²）=0，化簡(jiǎn)得t⁴-t²+1=0，
此方程無(wú)解，滿(mǎn)足條件的P、Q兩點(diǎn)不存在．
（2）當(dāng)t＞1時(shí)，G（t）=alnt，
方程①為：-t²+alnt•（t³+t²）=0，即

1

a

=（t+1）lnt，
設(shè)h（t）=（t+1）lnt（t＞1），則h′（t）=lnt+

1

t

+1，
當(dāng)t＞1時(shí)，h′（t）＞0，即h（t）在（1，+∞）上為增函數(shù)，
∴h（t）的值域?yàn)椋╤（1），+∞）），即（0，+∞），
∴

1

a

＞0，∴a＞0．
綜上所述，如果存在滿(mǎn)足條件的P、Q，則a的取值范圍是a＞0．