已知向量
a
=(m,-1),
b
=(sinx,cosx),f(x)=
a
b
且滿足f(
π
2
)=1

(1)求函數(shù)y=f(x)的解析式;
(2)求函數(shù)y=f(x)的最大值及其對(duì)應(yīng)的x值;
(3)若f(α)=
1
5
,求
sin2α-2sin2α
1-tanα
的值.
分析:(1)根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式,可得出f(x)含有參數(shù)m的解析式,再根據(jù)條件f(
π
2
)=1
解出m的值,即得出函數(shù)y=f(x)的解析式;
(2)利用輔助角公式,可將f(x)化簡(jiǎn)為f(x)=
2
sin(x-
π
4
)
,再用課本關(guān)于正弦函數(shù)的相應(yīng)結(jié)論,可得出函數(shù)y=f(x)的最大值及其對(duì)應(yīng)的x值;
(3)由f(α)=
1
5
,得到α的正弦與余弦的差等于
1
5
,利用平方的方法結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系,可得α的正弦與余弦的積為
24
25
,最后將二倍角的正弦公式代入要求值的分式,再將正切化做正弦除以余弦,可得出這個(gè)式子的值.
解答:解:(1)f(x)=
a
b
=msinx-cosx
,
f(
π
2
)=1
msin
π
2
-cos
π
2
=1
,所以m=1
所以f(x)=sinx-cosx…(4分)
(2)f(x)=sinx-cosx=
2
sin(x-
π
4
)

當(dāng)x-
π
4
=2kπ+
π
2
(k∈Z)

x=2kπ+
4
(k∈Z)
時(shí),fmax(x)=
2
…(8分)
(3)f(α)=
1
5
,即sinα-cosα=
1
5
…(9分)
兩邊平方得:(sinα-cosα)2=
1
25
,
所以2sinαcosα=
24
25
…(10分)
sin2α-2sin2α
1-tanα
=
2sinα(cosα-sinα)
1-
sinα
cosα
=2sinαcosα=
24
25
…(12分)
點(diǎn)評(píng):本題考查了平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示、三角函數(shù)的最值和三角函數(shù)求值等知識(shí)點(diǎn),是一道平面向量的綜合題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
.
a
=(m,-1),
.
b
=(
1
2
,
3
2
),
(Ⅰ)若
a
b
,求實(shí)數(shù)m的值;
(Ⅱ)若
a
b
,,求實(shí)數(shù)m的值;
(Ⅲ)若
a
b
,且存在不等于零的實(shí)數(shù)k,t使得[
a
+(t2-3)
b
]•(-k
a
+t
b
)=0,試求
k+t 2
t
的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
a
=(m,1),
b
=(2,m),若
a
b
,且向量
a
,
b
同向,則實(shí)數(shù)m等于(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
a
=(m-2,m+3),
b
=(2m+1,m-2),且
a
b
的夾角為鈍角,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是
-
4
3
<m<2且m≠
-11+5
5
2
-
4
3
<m<2且m≠
-11+5
5
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
a
=(m,1),向量
b
=(-1,2),若
a
b
,則實(shí)數(shù)m的值是
2
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
a
=(m,-2),
b
=(1,m+1),若
a
b
,則實(shí)數(shù)m=
-2
-2

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