Question

已知點(diǎn)A（-1，0），B（1，0），動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足，記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為W．
（Ⅰ）求W的方程；  
（Ⅱ）直線(xiàn)y=kx+1與曲線(xiàn)W交于不同的兩點(diǎn)C，D，若存在點(diǎn)M（m，0），使得|CM|=|DM|成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）依題意，點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A、B的距離之和為定值，且此值大于兩定點(diǎn)間的距離2，由橢圓定義可知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓，從而寫(xiě)出W的標(biāo)準(zhǔn)方程
（Ⅱ）先將直線(xiàn)方程與曲線(xiàn)W的方程聯(lián)立，得關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達(dá)定理，寫(xiě)出交點(diǎn)C、D的橫坐標(biāo)的和與積，再求出線(xiàn)段CD的中垂線(xiàn)的方程，此直線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)即為M，從而得m關(guān)于k的函數(shù)，求函數(shù)值域即可
解答：解：（Ⅰ）∵＞|AB|=2
∴由橢圓的定義可知，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓．
∴c=1，，b²=2．
∴W的方程是．          
（Ⅱ）設(shè)C，D兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），C，D中點(diǎn)為N（x，y）．
由得 （3k²+2）x²+6kx-3=0．
∵△=36k²+12（3k²+2）＞0
∴，
∴，從而．
∴線(xiàn)段CD的中垂線(xiàn)的方程為y-y=-（x-x）
即y-=-（x+）
令y=0，得x=-
∵存在點(diǎn)M（m，0），使得|CM|=|DM|
∴m=
當(dāng)k=0時(shí)，m=0
當(dāng)k＞0時(shí)，≥-=-
即m
當(dāng)k＜0時(shí)，≤=
即m

∴m∪{0}=．
故所求m的取范圍是．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的定義及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，特別是直線(xiàn)與橢圓相交時(shí)，利用韋達(dá)定理設(shè)而不求的技巧解決幾何問(wèn)題，是本題考查的重點(diǎn)