Question

某實驗室某一天的溫度（單位：°C）隨時間t（單位：h）的變化近似滿足函數關系：f（t）=9-

3

cos

π

12

t-sin

π

12

t，t∈[0，24）．
（1）求實驗室這一天里，溫度降低的時間段；
（2）若要求實驗室溫度不高于10°C，則在哪段時間實驗室需要降溫？

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數

專題：計算題,應用題,三角函數的求值

分析：（1）利用兩角和差的正弦公式化簡函數解析式為f（t）=9-2sin（

π

12

t+

π

3

），t∈[0，24），利用正弦函數的單調減區(qū)間，即可得到；
（2）由題意可得，令f（t）≤10時，不需要降溫，運用正弦函數的性質，解出t，再求補集即可得到．

解答： 解：（1）f（t）=9-

3

cos

π

12

t-sin

π

12

t，t∈[0，24），
則f（t）=9-2（

3

2

cos

π

12

t+

1

2

sin

π

12

t）
=9-2sin（

π

12

t+

π

3

），
令2kπ+

π

2

≤

π

12

t+

π

3

≤2kπ+

3π

2

，解得24k+2≤t≤24k+14，k為整數，
由于t∈[0，24），則k=0，即得2≤t≤14．
則有實驗室這一天里，溫度降低的時間段為[2，14]；
（2）令f（t）≤10，則9-2sin（

π

12

t+

π

3

）≤10，
即有sin（

π

12

t+

π

3

）≥-

1

2

，
則-

π

6

+2kπ≤

π

12

t+

π

3

≤

7π

6

+2kπ，
解得24k-6≤t≤24k+10，k為整數，
由于t∈[0，24），則得到0≤t≤10或18≤t＜24，
故在10＜t＜18，實驗室需要降溫．

點評：本題主要考查函數y=Asin（ωx+φ）的圖象特征，兩角和差的正弦公式，正弦函數的定義域和值域，三角不等式的解法，屬于中檔題．