Question

已知函數(shù)f（x）=

px2+2

-3x

的圖象經(jīng)過點（2，-

5

3

）
（1）求實數(shù)p的值，并寫出函數(shù)f（x）的解析式
（2）若x≠0，判斷f（x）的奇偶性，并證明
（3）求函數(shù)f（x）在[

1

2

，t]上的最大值．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：計算題,分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）運用代入法，解方程即可得到p和f（x）的解析式；
（2）運用定義法判斷奇偶性，首先判斷定義域是否關(guān)于原點對稱，再計算f（-x）和f（x）比較，即可得到奇偶性；
（3）運用導(dǎo)數(shù)，對t討論，當(dāng)

1

2

＜t≤1時，當(dāng)t＞1時，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷函數(shù)的最大值．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=

px2+2

-3x

的圖象經(jīng)過點（2，-

5

3

），
則f（2）=-

5

3

，即

4p+2

-6

=-

5

3

，
解得p=2，
則f（x）=

2x2+2

-3x

；
（2）若x≠0，f（x）為奇函數(shù)．
理由如下：定義域{x|x≠0}關(guān)于原點對稱，
f（-x）=

2x2+2

3x

=-f（x），
則f（x）為奇函數(shù)；
（3）f′（x）=-

2

3

（1-

1

x2

），
當(dāng)

1

2

＜t≤1時，f′（x）≥0，f（x）在[

1

2

，t]上遞增，f（t）最大，且為

2t2+2

-3t

；
當(dāng)t＞1時，當(dāng)

1

2

≤x＜1，f′（x）＞0，f（x）遞增；當(dāng)1＜x＜t時，f′（x）＜0，f（x）遞減．
則x=1時f（x）取得最大值，且為-

4

3

．
綜上可得，當(dāng)

1

2

＜t≤1時，f（x）的最大值為

2t2+2

-3t

；
當(dāng)t＞1時，f（x）的最大值為-

4

3

．

點評：本題考查函數(shù)的解析式的求法，考查函數(shù)的奇偶性的判斷，考查函數(shù)的最值的求法，考查分類討論的思想方法，考查運算能力，屬于中檔題．