Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=3，a_n+2=3a_n+1-2a_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）證明：數(shù)列{a_n+1-a_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a_n+2=3a_n+1-2a_n⇒a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n），a₁=1，a₂=3，從而可證數(shù)列{a_n+1-a_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得a_n+1-a_n=2ⁿ（n∈N^*），利用累加法，借助等比數(shù)列的求和公式即可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

解答：證明：（Ⅰ）∵a_n+2=3a_n+1-2a_n，
∴a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n），
∴

an+2-an+1

an+1-an

=2（n∈N^*）．
∵a₁=1，a₂=3，
∴數(shù)列{a_n+1-a_n}是以a₂-a₁=2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得a_n+1-a_n=2ⁿ（n∈N^*），
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=2^n-1+2^n-2+…+2+1
=2ⁿ-1（n∈N^*）．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的概念及簡單表示法，考查等比關(guān)系的確定及等比數(shù)列的求和，考查轉(zhuǎn)化與分析推理能力，屬于中檔題．