Question

已知函數(shù)f（x）=|x-a|-lnx（a＞0）
（Ⅰ）若a=1，求f（x）的單調(diào)區(qū)間及f（x）的最小值；
（Ⅱ）若a＞0，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）證明：（n∈N⁺，n≥2）

Answer 1

（Ⅰ）解：a=1時(shí)，f（x）=|x-1|-lnx （x＞0）
當(dāng)0＜x≤1，f（x）=1-（x+lnx），f′（x）=-1-＜0，所以f（x）在（0，1]上單調(diào)遞減；
當(dāng)x＞1，f（x）=x-（1+lnx），f′（x）=1-=＞0，所以f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴x=1時(shí)，f（x）的最小值為f（1）=0；
（Ⅱ）解：若a≥1，當(dāng)x≥a時(shí)，f（x）=x-a-lna，f′（x）=1-=≥0，∴f（x）在區(qū)間[a，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)0＜x＜a時(shí)，f（x）=a-x-lnx，f′（x）=-1-＜0，所以f（x）在（0，a）上單調(diào)遞減；
若0＜a＜1，當(dāng)x≥a時(shí)，f（x）=x-a-lna，f′（x）=1-=，x＞1，f′（x）＞0，a＜x＜1，f′（x）＜0
∴f（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增，（a，1）上單調(diào)遞減；
當(dāng)0＜x＜a時(shí)，f（x）=a-x-lnx，f′（x）=-1-＜0，所以f（x）在（0，a）上單調(diào)遞減；
而f（x）在x=a處連續(xù)，則f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，（0，1）上單調(diào)遞減
綜上，當(dāng)a≥1時(shí)，f（x）的遞增區(qū)間是（a，+∞），遞減區(qū)間是（0，a）；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）的遞增區(qū)間是（1，+∞），遞減區(qū)間是（0，1）；
（Ⅲ）證明：由（Ⅰ）可知，當(dāng)a=1，x＞1時(shí)，f（x）≥0，∴1-（x+lnx）≥0，∴l(xiāng)nx≤x-1．
∵x＞0，∴
∵n∈N₊，n≥2，令x=n²，得，
∴≤（1-+1-+…+1-）
=[n-1-（++…+）]＜[n-1-（++…+]
=[n-1-（-）]=，
故要證的不等式成立．
分析：（Ⅰ）a=1時(shí)，f（x）=|x-1|-lnx，將絕對(duì)值符號(hào)化去，分類討論，再求導(dǎo)函數(shù)，即可確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而可得f（x）的最小值；
（Ⅱ）將絕對(duì)值符號(hào)化去，分類討論，再求導(dǎo)函數(shù)，即可確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，lnx≤x-1，從而，令x=n²，可得，再進(jìn)行疊加，利用放縮法，即可證得結(jié)論成立．
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，用放縮法證明不等式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，其中，用放縮法證明不等式 是解題的難點(diǎn)．