Question

下列五個命題中，正確的命題的序號是

①④

．
①函數(shù)y=tan

x

2

的圖象的對稱中心是（kπ，0），k∈Z；
②f（x）在（a，b）上連續(xù)，x₀∈（a，b）且f（x₀）=0 則f（a）f（b）＜0；
③函數(shù)y=3sin（2x+

π

3

）的圖象可由函數(shù)y=3sin2x的圖象向右平移

π

3

個單位得到；
④f（x）在R上的導數(shù)f′(x)，且xf′(x)-f(x)＜0，則

f(2)

2

＜f(1)；
⑤函數(shù)y=ln（1+2cos2x）的遞減區(qū)間是[kπ，kπ+

π

4

]（k∈Z）．

Answer 1

分析：根據(jù)正切函數(shù)的對稱性，可判斷①；根據(jù)零點存在定理的逆命題不一定成立，可判斷②；根據(jù)函數(shù)圖象的平移變換法則，可判斷③；構(gòu)造函數(shù)g（x）=

f(x)

x

，利用導數(shù)法判斷其單調(diào)性，可判斷④；根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性及對數(shù)函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得答案．

解答：解：令

x

2

=

kπ

2

，k∈Z，得x=kπ，k∈Z，故函數(shù)y=tan

x

2

的圖象的對稱中心是（kπ，0），k∈Z，即①正確；
由f（x₀）=0可得x₀為函數(shù)f（x）的零點，但若x₀為函數(shù)f（x）的不變號零點，則f（a）f（b）＜0不一定成立，即②錯誤；
函數(shù)y=3sin2x的圖象向右平移

π

3

個單位得到y(tǒng)=3sin2（x+

π

3

）=函數(shù)y=3sin（2x

2π

3

）的圖象，故③錯誤；
令g（x）=

f(x)

x

，則g′（x）=

f′(x)x-f(x)

x2

，由f′（x）x-f（x）＜0可得：g′（x）＜0恒成立，故

f(2)

2

＜f（1），故④正確；
函數(shù)y=ln（1+2cos2x）的遞減區(qū)間是[kπ，kπ+

π

3

），（k∈Z），故⑤錯誤．
故答案為：①④

點評：本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了三角函數(shù)的對稱性，函數(shù)的零點，函數(shù)圖象的平移變換，函數(shù)的單調(diào)性等知識點，綜合性強，但難度不大．