Question

在△PAB中，已知A(-

6

，0)、B(

6

，0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|=|PB|+4．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（Ⅱ）設(shè)M（-2，0），N（2，0），過(guò)點(diǎn)N作直線l垂直于AB，且l與直線MP交于點(diǎn)Q，試在x軸上確定一點(diǎn)T，使得PN⊥QT；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，設(shè)點(diǎn)Q關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為R，求

OP

•

OR

的值．

Answer 1

分析：（I）由題意可得，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支除去其與x軸的交點(diǎn)．下面結(jié)合待定系數(shù)法求出雙曲線方程即可；
（II）由題意，直線MP（6）的斜率存在且不為0，設(shè)直線l的方程x=2．設(shè)MP的方程為y=k（x+2），將直線的方程代入雙曲線的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用垂直條件即可求得所求T的坐標(biāo)；
（III）由（II）知R（2，-4k），利用k表示出向量

OP

，

OR

，最后結(jié)合向量的數(shù)量積求出結(jié)果即得．

解答：解：（I）∵|PA|-|PB|=4＜|AB|，∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支除去其與x軸的交點(diǎn)．
設(shè)雙曲線方程為

x2

a2

-

a2

b2

=1(a＞0，b＞0)．
由已知，得

c= 6 2a=4

解得

c= 6 a=2

（2分）
∴b=

2

．（3分）
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為

x2

4

-

a2

2

=1(x＞2)．（4分）
注：未去處點(diǎn)（2，0），扣（1分）
（5）由題意，直線MP（6）的斜率存在且不為0，設(shè)直線l的方程x=2．
設(shè)MP的方程為y=k（x+2）．（5分）
∵點(diǎn)Q是l與直線MP的交點(diǎn)，∴Q（2，4k）．設(shè)P（x₀，y₀）
由

x2 4 - y2 2 =1 y=k(x+2)

整理得（1-2k²）x²-8k²x-（8k²+4）=0．
則此方程必有兩個(gè)不等實(shí)根x₁=-2，x₂=x₀＞2∴1-2k²≠0．，且-2x0=-

8k2+4

1-2k2

．
∴y0=k(x0+2)=

4k

1-2k2

．∴P(

4k2+2

1-2k2

，

4k

1-2k2

)．（8分）
設(shè)T（t，0），要使得PN⊥QT，只需

PN

•

QT

=0
由N（2，0），

PN

=(

8k2

1-2k2

，-

4k

1-2k2

)，

QT

=(t-2，-4k)，
∴

PN

?

QT

=

1

1-2k2

[8k2(t-2)，-16k2]=0（10分）
∵k≠0，∴t=4．此時(shí)

PN

≠0，?

QT

=≠0
∴所求T的坐標(biāo)為（4，0）．（11分）
（III）由（II）知R（2，-4k），∴

OP

=(

4k2+2

1-2k2

，

4k

1-2k2

)，

OR

=(2，-4k)．
∴

OP

•

OR

=

4k2+2

1-2k2

×2+

4k

1-2k2

×(-4k)=

4-8k2

1-2k2

=4．
∴

OP

•

OR

=4．
說(shuō)明其他正確解法按相應(yīng)步驟給分．

點(diǎn)評(píng)：直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關(guān)系的判定，弦長(zhǎng)問(wèn)題、最值問(wèn)題、對(duì)稱問(wèn)題、軌跡問(wèn)題等．