在△ABC中．
（1）求證：tan
A
2
tan
B
2
+tan
B
2
tan
C
2
+tan
C
2
tan
A
2
=1；
（2）求證：tan2
A
2
+tan2
B
2
+tan2
C
2
≥1．問什么情況下取等號．
分析：（1）提取公因式由兩角和的正切公式變式進行證明，兩角和的正切公式有二個變式，應(yīng)合理選擇．
（2）先切化弦再利用基本不等式求最值．
解答：解：（I）左邊=tan
B
2
（tan
A
2
+tan
C
2
）+tan
A
2
tan
C
2

=tan
B
2
tan（
A
2
+
C
2
）（1-tan
A
2
tan
C
2
）+tan
A
2
tan
C
2

∵在△ABC中，
B
2
+
A
2
+
C
2
=900
∴tan
B
2
tan（
A
2
+
C
2
）=1
∴左邊=1-tan
A
2
tan
C
2
+tan
A
2
tan
C
2
=1
∴左邊=右邊，等式得證
tan
A
2
tan
B
2
+tan
B
2
tan
C
2
+tan
C
2
tan
A
2
=1；
（II）∵tan2
A
2
=
sin 2 
A
2
cos 2
A
2
=
1-cos 2
A
2
cos 2
A
2
=
1
cos 2
A
2
-1
∴tan2
A
2
+tan2
B
2
+tan2
C
2
=
1
cos 2
A
2
+
1
cos 2
B
2
+
1
cos 2
C
2
-3≥3（
1
cos 2
A
2
×
1
cos 2
B
2
×
1
cos 2
C
2
） 
1
3
-3
等號當且僅當
1
cos 2
A
2
=
1
cos 2
B
2
=
1
cos 2
C
2
時即A=B=C=60°時成立
此時tan2
A
2
+tan2
B
2
+tan2
C
2
≥3[(
4
3
) 3] 
1
3
-3=4-3=1
故tan2
A
2
+tan2
B
2
+tan2
C
2
≥1．等號當A=B=C=60°時成立
點評：考查兩角和的正切公式的變形及基本不等式
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，cos
A
2
=
1+cosB
2
，則△ABC一定是（　�。�
A、等腰三角形
B、直角三角形
C、等腰直角三角形
D、無法確定

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，BC=1，B=2A，則
ACcosA
的值等于
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2cos
x
2
(
3
cos
x
2
-sin
x
2
)，在△ABC中，AB=1，f（C）=
3
+1，且△ABC的面積為
3
2
．
（1）求角C的值；
（2）（理科）求sinA•sinB的值．
（文科）求△ABC的周長．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•虹口區(qū)二模）在△ABC中，AB=1，AC=2，(
AB
+
AC
)•
AB
=2，則△ABC面積等于
3
2
3
2
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖所示，在△ABC中，AC=1，AB=3，∠ACB=
π2
，P為AB的中點且△ABC與矩形BCDE所在的平面互相垂直，CD=2．
（1）求證：AD∥平面PCE；
（2）求二面角A-CE-P的余弦值．

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