Question

甲、乙、丙三人按下面的規(guī)則進(jìn)行羽毛球比賽：第一局由甲、乙參加而丙輪空，以后每一局由前一局的獲勝者與輪空者進(jìn)行比賽，而前一局的失敗者輪空．比賽按這種規(guī)則一直進(jìn)行到其中一人連勝兩局或打滿6局時(shí)停止．設(shè)在每局中參賽者勝負(fù)的概率均為0.5，且各局勝負(fù)相互獨(dú)立．
（1）求打滿3局比賽還未停止的概率；
（2）理科：求比賽停止時(shí)已打局?jǐn)?shù)ξ的分布列與期望Eξ．
     文科：求比賽停止時(shí)已打局?jǐn)?shù)不少于5次的概率．

Answer 1

分析：（1）打滿3局比賽還未停止即在三局比賽中沒(méi)有人連勝兩局，分析其可能情況，每局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立且互斥，利用獨(dú)立事件、互斥事件的概率求解即可．
（2）理科：ξ的所有可能值為2，3，4，5，6，分別根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率乘法公式求出ξ取每一個(gè)值的概率，列出分布列，最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式進(jìn)行求解．
文科：記比賽停止時(shí)已打5局為事件M，比賽停止時(shí)已打6局為事件N，求出P（M）與P（N）的值，最后根據(jù)互斥事件的概率加法公式進(jìn)行求解．

解答：解：令A(yù)_k，B_k，C_k分別表示甲、乙、丙在第k局中獲勝．
（1）由獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生與互斥事件至少有一個(gè)發(fā)生的概率公式知，打滿3局比賽還未停止的概率為
P(A1C2B3)+P(B1C2A3)=

1

23

+

1

23

=

1

4

．
【理科】（2）ξ的所有可能值為2，3，4，5，6，且P(ξ=2)=P(A1A2)+P(B1B2)=

1

22

+

1

22

=

1

2

，
P(ξ=3)=P(A1C2C3)+P(B1C2C3)=

1

23

+

1

23

=

1

4

．
P(ξ=4)=P(A1C2B3B4)+P(B1C2A3A4)=

1

24

+

1

24

=

1

8

．
P(ξ=5)=P(A1C2B3A4A5)+P(B1C2A3B4B5)=

1

25

+

1

25

=

1

16

，
P(ξ=6)=P(A1C2B3A4C5)+P(B1C2A3B4C5)=

1

25

+

1

25

=

1

16

，
故有分布列

ξ	2	3	4	5	6
P	1 2	1 4	1 8	1 16	1 16

從而Eξ=2×

1

2

+3×

1

4

+4×

1

8

+5×

1

16

+6×

1

16

=

47

16

（局）．（10分）
【文科】記比賽停止時(shí)已打5局為事件M，比賽停止時(shí)已打6局為事件N，那么有
P（M）=P(ξ=5)=P(A1C2B3A4A5)+P(B1C2A3B4B5)=

1

25

+

1

25

=

1

16

，（8分）
P（N）=P(ξ=6)=P(A1C2B3A4C5)+P(B1C2A3B4C5)=

1

25

+

1

25

=

1

16

，…（10分）
所以，比賽停止時(shí)已打局?jǐn)?shù)不少于5次的概率為

1

8

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題注意考查了互斥、獨(dú)立事件的概率，離散型隨機(jī)變量的分布列和期望等知識(shí)，同時(shí)考查利用概率知識(shí)解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．