Question

已知|

a

|=1，|

b

|=

2

，且

a

與

b

的夾角為θ．
（1）若θ=

π

4

，求|

a

+3

b

|；
（2）若

a

-2

b

與

a

垂直，求cosθ．

Answer 1

分析：（1） 先求出

a

•

b

 的值，代入|

a

+3

b

|=

( a +3 b )2

 的式子進行運算．
（2） 由（

a

-2

b

 ）⊥

a

，可得（

a

-2

b

 ）•

a

=0，解出 

a

•

b

=

1

2

，再利用兩個向量的數(shù)量積的定義求出cosθ 的值．

解答：解：（1）

a

•

b

=|

a

|•|

b

|•cos

π

4

=1×

2

×

2

2

=1，
|

a

+3

b

|=

( a +3 b )2

=

a 2+6  a  • b +9 b 2

=

1+6+9×2

=5．
（2）∵（

a

-2

b

 ）⊥

a

，∴（

a

-2

b

 ）•

a

=

a

2-2

a

 

b

=1-2 

a

b

=0，
∴

a

b

=

1

2

=|

a

|•|

b

|cosθ=1×

2

 cosθ，∴cosθ=

2

4

．

點評：本題考查兩個向量的數(shù)量積的定義，向量的模的求法，兩個香辣ing垂直的性質(zhì)．