Question

20．若對(duì)任意x∈（0，$\frac{1}{2}$），恒有4^x＜log_ax（a＞0且a≠1），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）．

Answer 1

分析 對(duì)任意的x∈（0，$\frac{1}{2}$），4^x≤log_ax恒成立，化為x∈（0，$\frac{1}{2}$）時(shí)，y=log_ax的圖象恒在y=4^x的圖象的上方，
在同一坐標(biāo)系中，分別畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，由此求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：∵a∈（0，1）∪（1，+∞），
當(dāng)x∈（0，$\frac{1}{2}$）時(shí)，函數(shù)y=4^x的圖象如下圖所示：

∵對(duì)任意的x∈（0，$\frac{1}{2}$）時(shí)，總有4^x＜log_ax恒成立，
若不等式4^x＜log_ax恒成立，則y=log_ax的圖象恒在y=4^x圖象的上方（如圖中虛線所示）
∵y=log_ax的圖象與y=4^x的圖象交于（$\frac{1}{2}$，2）點(diǎn)時(shí)，
a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故虛線所示的y=log_ax的圖象對(duì)應(yīng)的底數(shù)a應(yīng)滿足$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤a＜1．
故答案為：[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，熟練掌握指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．