Question

已知f（x）=2

3

cos²x+2sin（π-x）cos（-x）+a-

3

（x∈R，a∈R，a為常數(shù)）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）先將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移

π

6

個(gè)單位，然后將得到函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)=g（x）的圖象，若當(dāng)x∈[

π

6

，

π

3

]，g（x）的最小值為2，求a的值及函數(shù)y=g（x）的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專(zhuān)題：綜合題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）利用三角恒等變換可求得f（x）=2sin（2x+

π

3

）+a，于是可得函數(shù)f（x）的最小正周期為π，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可求得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換可求得y=g（x）的解析式為：g（x）=2sinx+a，當(dāng)x∈[

π

6

，

π

3

]時(shí)，可求得g（x）∈[a+1，a+

3

]，依題意可得a的值及函數(shù)y=g（x）的解析式．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=sin2x+

3

cos2x+a=2sin（2x+

π

3

）+a…4分
函數(shù)f（x）的最小正周期為T(mén)=

2π

2

=π，…5分
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），…6分
解得kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

（k∈Z），…7分
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈Z…8分
（Ⅱ）將函數(shù)y=f（x）=2sin（2x+

π

3

）+a的圖象向右平移

π

6

個(gè)單位，
然后將得到函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，
得到y(tǒng)=g（x）的解析式為：g（x）=2sinx+a，…10分
當(dāng)x∈[

π

6

，

π

3

]時(shí)，g（x）∈[a+1，a+

3

]，…11分
∵g（x）_min=2，
∴a+1=2，a=1，…12分
∴g（x）=2sinx+1…13分

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角恒等變換的應(yīng)用，著重考查正弦函數(shù)的周期性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，突出考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，考查綜合分析與運(yùn)算能力，屬于中檔題．