Question

已知函數(shù)f（x）=x³-ax|x+a|，x∈[0，2]
（1）當(dāng)a=-1時，求函數(shù)f（x）的最大值；
（2）當(dāng)函數(shù)f（x）的最大值為0時，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

（1）當(dāng)a=-1時，f（x）=x²+x|x-1|，x∈[0，2]，
當(dāng)0＜x＜1時，f（x）=x³-x²+x，
f′（x）=3x²-2x+1=3(X-

1

3

)2+

2

3

＞0，
當(dāng)1＜x＜2時，f（x）=x³+x²-x，
f′（x）=3x²+2x-1=（3x-1）（x+1）＞0，
又函數(shù)f（x）是連續(xù)函數(shù)，所以f（x）在[0，2]上是增函數(shù)，（4分）
∴函數(shù)f（x）的最大值f（x）_max=f（2）=10         （6分）
（2）1°當(dāng)a≤0時，f（0）=0，當(dāng)0＜x≤2時f（x）＞0，此時不符合題設(shè)，（8分）
2°當(dāng)a＞0時，f（x）=x³-ax²+a²x，
f′（x）=3x²-2ax-a²=（3x+a）（x-a），
∵0≤x≤2∴3x+a＞0
（i）當(dāng)a≥2時，f′（x）≤0，故f（x）在[0，2]上是減函數(shù)，
∴此時f（x）_max=f（0）=0，符合題設(shè)    （11分）
（ii）當(dāng)0＜a＜2時，由f′（x）＞0，得a＜x＜2，
由f′（x）＜0，得0＜x＜a．
故 f（x）在[0，a]上是減函數(shù)，在在[a，2]上是增函數(shù)
∴此時f（x）_max=max{f（0），f（2）}=0，
又f（0）=0，
∴f（2）≤0，即8-2a|a+2|≤0，
a²+2a-4≥0，
解之得a≤-1-

5

或a≥

5

-1，
∴

5

-1≤a＜2，
綜上所述：所求的實數(shù)a的取值范圍為[

5

-1，+∞）．