Question

已知函數(shù)f（x）=，給出下列四個命題：
（1）當a＞0時，函數(shù)f（x）的值域為[0，+∞），
（2）對于任意的x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，若＞0恒成立，則a∈[0，3）；　
（3）對于任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，恒有＜f（）；　
（4）對于任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，若不等式|f（x₁）-f（x₂）|＞t|x₁-x₂|恒成立，則t的最大值為0．其中正確的有________（只填相應的序號）

Answer 1

解：對于（1）當a=3時，函數(shù)f（x）=，函數(shù)f（x）的值域為{3}∪[0，+∞），故錯；
（2）對于任意的x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，若＞0恒成立，說明曲線上任意兩點連線的斜率大于0，對于x≤0 時，射線y=（3-a）x-a的斜率3-a＞0，則a＜3，又當a＜0時，分段函數(shù)的圖象如圖所示，圖象上有兩點的連線的斜率小于0，不符合題意．故a∈[0，3）； 正確；
對于（3）對于任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，
由于三次函數(shù)的圖象是下凸的，如圖，利用梯形的中位線性質，得：
＞f（）；故（3）不正確；
（4）對于任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，由三次函數(shù)的圖象可知，對于其圖象上任意兩點的斜率的絕對值＞0，不等式恒成立，則t≤0，則若不等式|f（x₁）-f（x₂）|＞t|x₁-x₂|恒成立，則t的最大值為0．正確．
故答案為：（2）（4）．
分析：對于（1）當特殊值a=3時，函數(shù)f（x）=，函數(shù)f（x）的值域為{3}∪[0，+∞）；（2）對于任意的x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，若＞0恒成立，說明曲線上任意兩點連線的斜率大于0，得出a的取值范圍；對于（3）對于任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，由于三次函數(shù)的圖象是下凸的；（4）對于任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，由三次函數(shù)的圖象可知，對于其圖象上任意兩點的斜率的絕對值＞0，利用不等式恒成立求得t的最大值．
點評：本小題主要考查函數(shù)單調性的性質、命題的真假判斷與應用、函數(shù)的最值及其幾何意義等基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．