Question

已知數(shù)列{a_n}中，，若以a₁，a₂，…，a_n為系數(shù)的二次方程a_n-1x²-a_nx+1=0（n∈N⁺，n≥2）都有根α，β且3α-αβ+3β=1，則{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=    ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)韋達(dá)定理分別求得α+β和αβ代入3α-αβ+3β=1，進(jìn)而求得a_n=a_n-1+，從而可推知 為定值，由此得數(shù)列{a_n-}為等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)而可得a_n，再根據(jù)等比數(shù)列的求和公式，求得S_n．
解答：解：由題意，∵α+β=，αβ=代入3α-αβ+3β=1得a_n=a_n-1+，
∴==為定值．
∴數(shù)列{a_n-}是等比數(shù)列．
∵a₁-=-=，
∴a_n-=×（ ）^n-1=（ ）ⁿ．
∴a_n=（ ）ⁿ+．
∴S_n=（ +++）+=+=-．
故答案為：
點(diǎn)評(píng)：本題以方程的根與系數(shù)為載體，考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，考查構(gòu)造法的運(yùn)用，屬基礎(chǔ)題．