Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F（0，）的距離比點(diǎn)P到x軸的距離大，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C，直線l：y=kx+1交曲線C于A，B兩點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線交曲線C于點(diǎn)N，（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）證明：曲線C在點(diǎn)N處的切線與AB平行；
（Ⅲ）若曲線C上存在關(guān)于直線l對(duì)稱的兩點(diǎn)，求k的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）解：由已知，動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F的距離與動(dòng)點(diǎn)P到直線的距離相等，
由拋物線定義可知，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，
所以曲線C的方程為y=x²．
（Ⅱ）證明：設(shè)，
由，得，
所以，
設(shè)，則，
因?yàn)镸N⊥x軸，所以N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
由y=x²，可得y′=2x，所以當(dāng)x=時(shí)，y′=k，
所以曲線C在點(diǎn)N處的切線斜率為k，與直線AB平行．
（Ⅲ）解：由已知，k≠0，設(shè)直線l的垂線為l′：，
代入y=x²，可得， （*）
若存在兩點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱，則，
又在l上，
所以，
由方程（*）有兩個(gè)不等實(shí)根，
所以，即，
所以，解得或。