Question

列出你對函數(shù)f(x)=x+

a

x

(a＞0)的認識．（提示：從函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性、值域、圖象等多個方面，有理有分）

Answer 1

分析：由函數(shù)的解析式我們易求出函數(shù)的定義域；進而判斷f（-x）與f（x）的關(guān)系，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義，可以判斷出函數(shù)的奇偶性；求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求出導(dǎo)函數(shù)的零點，將定義域分為若干個小的子區(qū)間，分別討論導(dǎo)函數(shù)在各個子區(qū)間上的符號，即可判斷出函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，我們易求出函數(shù)的值域，并畫出函數(shù)的圖象．

解答：解：（1）要使函數(shù)的解析式有意義，自變量x須滿足x≠0
故函數(shù)的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞）
（2）∵函數(shù)f(x)=x+

a

x

(a＞0)
∴f(-x)=-x+

a

-x

=-f（x）
∴f（x）為奇函數(shù)
（3）又∵f'（x）=1-a

1

x2

∴∴f（x）在（-∞，-

a

]，[

a

，+∞）上為增函數(shù)；
f（x）在[-

a

，0），（0，

a

]上為減函數(shù)．
（4）由（3）得函數(shù)在x=-

a

時，取極大值；
在x=

a

時，取極小值；函數(shù)的值域為（-∞，-2

a

]，[2

a

，+∞）．
（5）其函數(shù)圖象大致如圖所示：

點評：本題考查的知識點是函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，函數(shù)的奇偶性的證明，函數(shù)的定義域、值域和函數(shù)的圖象，這是我們學(xué)習(xí)每種類型的函數(shù)都必須要關(guān)注的幾個要點．