Question

已知函數(shù)f（x）=-

1

6

x³+

1

2

x²+x，x∈R，
（Ⅰ）求證：對任意的x₁∈R都有f（1+x₁）+f（1-x₁）=

8

3

；
（Ⅱ）求f（-2007）+f（-2006）+…+f（0）+f（1）+…+f（2009）的值；
（Ⅲ）設(shè)g（x）=f′（x），a_n+1=g（a_n），n∈N，利用1＜a_n＜

3

2

（n∈N），證明：|a₁-

2

|+|a₂-

2

|+…+|a_n-

2

|＜2．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用函數(shù)f（x）的解析式，將1+x₁和1-x₁代入相加，化簡整理，可得對任意的x₁∈R都有f（1+x₁）+f（1-x₁）=

8

3

；
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的結(jié)論將所要求的和進(jìn)行配對，每兩個自變量和等于2的函數(shù)值相加都等于

8

3

，這樣配成2008對，再加上f（1）=

4

3

，可得結(jié)果為5356；
（Ⅲ）利用導(dǎo)數(shù)公式求出g（x）的表達(dá)式，再通過因式分解，結(jié)合1＜a_n＜

3

2

，證得|a_n+1-

2

|＜

1

2

|a_n-

2

|＜…＜

1

2 n-1

|a₂-

2

|＜

1

2 n

|a₁-

2

|＜

1

2 n-1

，最后利用n個不等式進(jìn)行累加，可得欲證明的不等式成立．

解答：解：（Ⅰ）f（1+x₁）+f（1-x₁）=-

1

6

（1+x₁）³+

1

2

（1+x₁）²+（1+x₁）+[-

1

6

（1-x₁）³+

1

2

（1-x₁）²+（1-x₁）]
=-

1

6

[（1+x₁）³+（1-x₁）³]+

1

2

[（1+x₁）²+（1-x₁）²]+2
=-

1

3

-x₁²+1+x₁²+2=

8

3

（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）結(jié)論，將f（-2007）+f（-2006）+…+f（0）+f（1）+…+f（2009）進(jìn)行配對如下：
[f（-2007）+f（2009）]+[f（-2006）+f（2008）]+[f（-2006）+f（2008）]+…+[f（0）+f（2）]+f（1）
=

8

3

×2008+（-

1

6

+

1

2

+1）=5356
（Ⅲ）由于g(x)=- 

1

2

x2 +x+1
∴an+1=g(an) =-

1

2

a

2 n

+an+1
又|a_n+1-

2

|=|-

1

2

a

2 n

+an+1-

2

|=

1

2

|an-

2

|•|an-2+

2

|
由于1＜a_n＜

3

2

，得|an-2+

2

|＜1
故|a_n+1-

2

|＜

1

2

|a_n-

2

|＜…＜

1

2 n-1

|a₂-

2

|＜

1

2 n

|a₁-

2

|＜

1

2 n-1

于是：|a₁-

2

|+|a₂-

2

|+…+|a_n-

2

|＜1++

1

2

+

1

2 2

+…+

1

2 n-1

=2-

1

2 n-1

．
所以：|a₁-

2

|+|a₂-

2

|+…+|a_n-

2

|＜2．

點評：本題以函數(shù)為載體，考查了函數(shù)的對稱性與數(shù)列之間的關(guān)系，同時還考查了用放縮法證明不等式，是一道難題．著重考查數(shù)列和不等式問題的綜合應(yīng)用，解題時要注意轉(zhuǎn)化化歸、分類討論等數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用．