P是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1  (a＞b＞0)上的任意一點(diǎn)，若∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，且cosα=
5
5
，sin（α+β）=
3
5
，則此橢圓的離心率為
 
．
分析：先計(jì)算sinβ，設(shè)|PF1|=m，|PF2|=n，再利用正弦定理求出n=
20
21
a，m=
22
21
a，利用余弦定理，即可得出結(jié)論．
解答：解：∵cosα=
5
5
，sin（α+β）=
3
5
，
∴sinα=
2
5
5
，cos（α+β）=±
4
5
，
∴sinβ=sin[（α+β）-α]=
3
5
•
5
5
+
4
5
•
2
5
5
=
11
5
25
或
3
5
•
5
5
-
4
5
•
2
5
5
＜0（舍去），
設(shè)|PF1|=m，|PF2|=n，則由正弦定理可得
m
11
5
25
=
n
2
5
5
，
∴m=
11
10
n，
∵m+n=2a，
∴n=
20
21
a，m=
22
21
a
由余弦定理可得(
20
21
a)2=(
22
21
a)2+4c2-2•
22
21
a•2c•
5
5
，
整理可得22e2-
22
5
5
e+1=0，
∵0＜e＜1，
∴e=
5
7
．
故答案為：
5
7
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查正弦定理、余弦定理的運(yùn)用，考查橢圓的離心率，考查學(xué)生的計(jì)算能力，綜合性強(qiáng)．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)P是以F1、F2為焦點(diǎn)的橢圓
x2
b2
+
y2
a2
=1 (a＞b＞0)上的任一點(diǎn)，∠F1PF2最大值是120°，求橢圓離心率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知P是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的一點(diǎn)，若PF1⊥PF2，tan∠PF1F2=
1
2
，則此橢圓的離心率為（　�。�
A、
1
2
B、
2
3
C、
1
3
D、
5
3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知P是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1上的一點(diǎn)，若
PF1
•
PF2
=0，tan∠PF1F2=2，則此雙曲線的離心率為（　　）
A、
5
B、5
C、2
5
D、3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若P是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上的一點(diǎn)，且
PF1
•
PF2
=0，tan∠PF1F2=
1
2
，則此橢圓的離心率為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知點(diǎn)P是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上一點(diǎn)，且
PF1
•
PF2
=0，tan∠PF1F2=
1
2
，則該橢圓的離心率等于
5
3
5
3
．

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同步練習(xí)冊(cè)答案