Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=，且S_n=n²a_n-n（n-1），（n∈N）
（Ⅰ）求證：數(shù)列{}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)f_n（x）=xⁿ⁺¹，b_n=f′_n（a）（a∈R，n∈N），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ） 由 a_n=S_n-S_n-1 （n≥2），結(jié)合條件可得 =1，結(jié)論得證．
（Ⅱ）求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，分類(lèi)討論，用錯(cuò)位相加法求它的和 T_n．
解答：解：（Ⅰ）由 a_n=S_n-S_n-1 （n≥2），及 S_n=n²a_n-n（n-1）得 
S_n=n²（S_n-S_n-1）-n（n-1），即  （n²-1 ）S_n-n²S_n-1=n（n-1），
∴=1，∴{}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列．
（Ⅱ）故由（I）得 =1+（n-1）=n，∴S_n=．
∵f_n（x）=xⁿ⁺¹ =，∴f′_n（x）=nxⁿ，∴b_n=naⁿ，
∴T_n=a+2a²+3a³+A+naⁿ   ①．
當(dāng)a=0 時(shí)，T_n=0； 當(dāng)a=1時(shí)，T_n=1+2+3+A+n=；
當(dāng) a≠1時(shí) aT_n=a²+2a³+3a⁴+A+naⁿ⁺¹   ②，
由①-②得（ 1-a）T_n=a+a²+a³+A+aⁿ-naⁿ⁺¹=，
∴T_n=．
綜上得 T_n=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查等差關(guān)系的確定，列求和的方法，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)的思想，分類(lèi)討論求 T_n是解題的難點(diǎn)．