Question

18．矩形ABCD中，|AB|=8，|BC|=6．E，F(xiàn)，G，H分別是矩形四條邊的中點，R，S分別是線段OF和線段CF上的動點，且$\frac{OR}{OF}$=$\frac{CS}{CF}$=λ，建立如圖所示的直角坐標系，O為矩形的對稱中心，坐標軸分別平行于AB，BC．
（1）求直線ER與直線GS的交點M的軌跡方程；
（2）點N（$\sqrt{7}$，0），求線段MN的長度范圍．

Answer 1

分析 （1）利用已知可得直線GS，ER的方程，消去參數(shù)，即可求直線ER與直線GS的交點M的軌跡方程；
（2）點N（$\sqrt{7}$，0），利用參數(shù)法，即可求線段MN的長度范圍．

解答 解：（1）∵$\frac{OR}{OF}$=$\frac{CS}{CF}$=λ，∴R（4λ，0），S（4，3-3λ）
直線GS的方程為y=-$\frac{3λ}{4}$x+3①
又E（0，-3）則直線ER的方程為y=$\frac{3}{4λ}$x-3②
由①②消去λ，得到直線ER與直線GS的交點M的軌跡方程$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1．  
（2）設(shè)M（4cosα，3sinα），
∴|MN|=$\sqrt{（4cosα-\sqrt{7}）^{2}+（3sinα）^{2}}$=$\sqrt{7（cosα-\frac{4\sqrt{7}}{7}）^{2}}$，
∵-1≤cosα≤1，
∴4-$\sqrt{7}$≤|MN|≤4+$\sqrt{7}$．

點評 本題考查軌跡方程，考查參數(shù)法的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．