Question

設函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+1（a＞0）的單調減區(qū)間是（1，2）．
（1）f（x）的解析式；
（2）若對任意的m∈（0，2]，關于x的不等式在x∈[2，+∞）時有解，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+1（a＞0），
∴f'（x）=3ax²+2bx+c．
∵f（x）的單調減區(qū)間是（1，2），
∴

∴．
∴．
（2）由（1）得f'（x）=3x²-9x+6=3（x-1）（x-2），
當x∈[2，+∞）時，f'（x）≥0，
∴f（x）在[2，+∞）單調遞增，
∴f（x）_min=f（2）=3．
要使關于x的不等式在x∈[2，+∞）時有解，
即，
即對任意m∈（0，2]恒成立，
只需在m∈（0，2]恒成立．
設，m∈（0，2]，
則t＜h（m）_min．

，
當m∈（0，2]時，h（m）在（0，1）上遞減，在（1，2]上遞增，
∴．
∴．

分析：（1）f'（x）=3ax²+2bx+c．由f（x）的單調減區(qū)間是（1，2），知，由此能求出f（x）的解析式．
（2）由（1）得f'（x）=3x²-9x+6=3（x-1）（x-2），當x∈[2，+∞）時，f'（x）≥0，故f（x）在[2，+∞）單調遞增，所以f（x）_min=f（2）=3．要使關于x的不等式在x∈[2，+∞）時有解，只需在m∈（0，2]恒成立．由此能求出實數(shù)t的取值范圍．
點評：本題考查利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)最值的應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數(shù)學思維能力要求較高，是高考的重點．易錯點是要使關于x的不等式在x∈[2，+∞）時有解，只需在m∈（0，2]恒成立．解題時要認真審題，仔細解答．