已知函數(shù)f（x）=
1
2
x2+lnx．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求證：當(dāng)x＞1時，
1
2
x2+lnx＜
2
3
x3．
（1）依題意知函數(shù)的定義域為{x|x＞0}，
∵f′（x）=x+
1
x
，∴f′（x）＞0，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）．
（2）證明：設(shè)g（x）=
2
3
x3-
1
2
x2-lnx，
∴g′（x）=2x2-x-
1
x
，
∵當(dāng)x＞1時，g′（x）=
(x-1)(2x2+x+1)
x
＞0，
∴g（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，
∴g（x）＞g（1）=
1
6
＞0，
∴當(dāng)x＞1時，
1
2
x2+lnx＜
2
3
x3．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如果函數(shù)f（x）在x=x0處取得極值，則點（x0，f（x0））稱為函數(shù)f（x）的一個極值點．已知函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0，a，b，c，d∈R）的一個極值點恰為坐標(biāo)系原點，且y=f（x）在x=1處的切線方程為3x+y-1=0．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）在[-2，2]上的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

用半徑為R的圓形鐵皮剪出一個圓心角為α的扇形，制成一個圓錐形容器，求：扇形的圓心角多大時，容器的容積最大？并求出此時容器的最大容積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

設(shè)函數(shù)f(x)=
1
2
x2ex
（1）求該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若當(dāng)x∈[-2，2]時，不等式f（x）＜m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）=ax-lnx，g(x)=
lnx
x
，它們的定義域都是（0，e]，其中e≈2.718，a∈R
（ I）當(dāng)a=1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（ II）當(dāng)a=1時，對任意x1，x2∈（0，e]，求證：f(x1)＞g(x2)+
17
27

（ III）令h（x）=f（x）-g（x）•x，問是否存在實數(shù)a使得h（x）的最小值是3，如果存在，求出a的值；如果不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）=alnx-ax-3（a∈R），
（1）若函數(shù)y=f（x）在點（2，f（2））處的切線斜率為1，求a的值；
（2）在（1）的條件下，對任意t∈[1，2]，函數(shù)g（x）=x3+x2[
m
2
+f′（x）]在區(qū)間（t，3）總存在極值，求m的取值范圍；
（3）若a=2，對于函數(shù)h（x）=（p-2）x-
p+2e
x
-3在[1，e]上至少存在一個x0使得h（x0）＞f（x0）成立，求實數(shù)P的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

設(shè)函數(shù)f（x）=九x2+lnx．
（Ⅰ）當(dāng)九=-1時，求函數(shù)y=f（x）的7象在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）已知九＜0，若函數(shù)y=f（x）的7象總在直線y=-
1
2
的下方，求九的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

設(shè)函數(shù)f（x）=alnx-bx2（x＞0），若函數(shù)f（x）在x=1處與直線y=-
1
2
相切．
（1）求實數(shù)a，b的值；
（2）求函數(shù)f（x）在[
1
e
，e]上的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

A、B兩地相距1千米，B、C兩地相距3千米，甲從A地出發(fā)，經(jīng)過B前往C地，乙同時從B地出發(fā)，前往C地．甲、乙的速度關(guān)于時間的關(guān)系式分別為和（單位：千米/小時）．甲、乙從起點到終點的過程中，給出下列描述：
①出發(fā)后1小時，甲還沒追上乙             ② 出發(fā)后1小時，甲乙相距最遠(yuǎn)
③甲追上乙后，又被乙追上，乙先到達(dá)C地   ④甲追上乙后，先到達(dá)C地 
其中正確的是         ．（請?zhí)钌纤忻枋稣_的序號）

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