Question

13．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=n²a_n（n≥2），且a₁=1，
（1）計(jì)算a₂、a₃、a₄，猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)列的前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)的關(guān)系，得到關(guān)于數(shù)列的遞推關(guān)系式，即可求得此數(shù)列的前幾項(xiàng)．
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列問(wèn)題時(shí)分為兩個(gè)步驟，第一步，先證明當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論顯然成立，第二步，先假設(shè)當(dāng)n=k+1時(shí)，有a_k=$\frac{2}{k（k+1）}$，利用此假設(shè)證明當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立即可．

解答 解：（1）∵S_n=n²a_n，∴a_n+1=S_n+1-S_n=（n+1）²a_n+1-n²a_n
∴a_n+1=$\frac{n}{n+2}$a_n，
∴a₂=$\frac{1}{3}$，a₃=$\frac{1}{6}$，a₄=$\frac{1}{10}$．
（2）猜測(cè) a_n=$\frac{2}{n（n+1）}$；下面用數(shù)學(xué)歸納法證：
①當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論顯然成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立，即a_k=$\frac{2}{k（k+1）}$
則當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1=$\frac{k}{k+2}$a_k=$\frac{k}{k+2}$×$\frac{2}{k（k+1）}$=$\frac{2}{（k+1）（k+2）}$
故當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也成立．
由①、②可知，對(duì)于任意的n∈N*，都有$a_n=\frac{2}{n（n+1）}$成立．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查數(shù)列遞推式、數(shù)學(xué)歸納法，第（1）問(wèn)要注意遞推公式的靈活運(yùn)用，第（2）問(wèn)要注意數(shù)學(xué)歸納法的證明技巧．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的基本形式設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若1°P（n₀）成立2°假設(shè)P（k）成立（k≥n₀），可以推出P（k+1）成立，則P（n）對(duì)一切大于等于n₀的自然數(shù)n都成立．