【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)a∈R時,討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)對任意的x∈(1,+∞)均有f(x)<ax,若a∈Z,求a的最小值.
【答案】(1)答案不唯一,具體見解析(2)a的最小值為3
【解析】
(1)求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù),令,分情況討論,進而可得求得函數(shù)的單調(diào)性;
(2)由得到,轉(zhuǎn)化為,對任意成立,令,利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最大值,即可求得實數(shù)的最小值.
(1)由題意,函數(shù),
則,x>0且x≠1,
令,則其圖象對稱軸為直線x,g(0)=10,
當(dāng),即a≥20時,則g(x)>0,f′(x)>0,
此時f(x)分別在(0,1)和(1,+∞)上遞增,
當(dāng)時,即a<20時,令△=(a﹣20)2﹣400≤0.可得0≤a<20,
所以當(dāng)0≤a<20時,則g(x)>0,f′(x)>0,
此時f(x)分別在(0,1)和(1,+∞)上遞增,
當(dāng)a<0時,由g(x)=0解得x1,x2,
易知f(x)分別在(0,x1),(x2,+∞)上遞增,分別在(x1,1),(1,x2)上遞減.
綜上所述,當(dāng)a≥0時,f(x)分別在(0,1)和(1,+∞)上遞增,
當(dāng)a<0時,分別在(0,x1),(x2,+∞)上遞增,分別在(x1,1),(1,x2)上遞減.
(2)由題意得,,
即,對任意成立,
令F(x),x>1,則,x>1,
令h(x)=(2﹣x)lnx+x﹣1,h′(x)=﹣lnx,x>1
因為h′(x)在(1,+∞)上遞減,且h′(1)=2>0,當(dāng)x→+∞時,h′(x)→﹣∞,
所以存在x0∈(1,+∞),使得h′(x0)=0,且h(x)在(1,x0)上遞增,在(x0,+∞)上遞減,
因為h(1)=0,所以h(x0)>0,
因為當(dāng)x→+∞時,h(x)→﹣∞,所以存在x1∈(x0,+∞),使得h(x1)=0,
且F(x)在(1,x1)上遞增,在(x1,+∞)上遞減,
所以F(x)max=F(x1),
因為h(x1)=(2﹣x1)lnx1+x1﹣1=0,所以lnx1,所以F(x1),
因為h(4)=﹣2ln4+3=ln0,h(5)=﹣3ln5+4=ln0,所以x1∈[4,5],
令Φ(x),x∈[4,5],易證Φ(x)在區(qū)間[4,5]上遞減,
所以Φ(x)∈[,],
即F(x)max∈[,],因為a∈Z,所以a的最小值為3.
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【題目】如圖,已知矩形ABCD中,AB=2,AD=1.將矩形沿對角線BD折起,使A移到點P,P在平面BCD上的投影O恰好落在CD邊上.
(1)證明:DP⊥平面BCP;
(2)求點O到平面PBD的距離.
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【題目】某貧困村共有農(nóng)戶100戶,均從事水果種植,平均每戶年收入為1.8萬元,在當(dāng)?shù)卣罅Ψ龀趾鸵龑?dǎo)下,村委會決定2020年初抽出戶(,)從事水果銷售工作,經(jīng)測算,剩下從事水果種植的農(nóng)戶平均每戶年收入比上一年提高了,而從事水果銷售的農(nóng)戶平均每戶年收入為萬元.
(1)為了使從事水果種植的農(nóng)戶三年后平均每戶年收入不低于2.4萬元,那么2020年初至少應(yīng)抽出多少農(nóng)戶從事水果銷售工作?
(2)若一年后,該村平均每戶的年收入為(萬元),問的最大值是否可以達到2.1萬元?
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【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時,求的最小值.
(Ⅱ)若在區(qū)間上有兩個極值點,
(i)求實數(shù)的取值范圍;
(ii)求證:.
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【題目】請解答以下問題,要求解決兩個問題的方法不同.
(1)如圖1,要在一個半徑為1米的半圓形鐵板中截取一塊面積最大的矩形,如何截。坎⑶蟪鲞@個最大矩形的面積.
(2)如圖2,要在一個長半軸為2米,短半軸為1米的半個橢圓鐵板中截取一塊面積最大的矩形,如何截取?并求出這個最大矩形的面積.
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【題目】已知數(shù)列各項均為正數(shù),為其前項的和,且成等差數(shù)列.
(1)寫出、、的值,并猜想數(shù)列的通項公式;
(2)證明(1)中的猜想;
(3)設(shè),為數(shù)列的前項和.若對于任意,都有,求實數(shù)的值.
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【題目】如圖,在三棱柱中,每個側(cè)面均為正方形,D為底邊AB的中點,E為側(cè)棱的中點.
(1)求證:平面;
(2)求證:平面;
(3)若,求三棱錐的體積.
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