設Q是直線y=-1上的一個動點，O為坐標原點，過Q作x軸的垂線l，過O作直線OQ的垂線交直線l于點P．
（1）求點P的軌跡C的方程；
（2）過點A（-
2
，2）作圓B：x2+（y-2）2=1的兩條切線交曲線C于M，N兩點，試證明直線MN與圓B相切．
考點：直線與圓的位置關(guān)系
專題：直線與圓
分析：（1）設P（x，y），則Q（x，-1），由OP⊥OQ得
y
x
•
-1
x
=-1，由此能得到P點的軌跡C的方程．
（2）由條件根據(jù)直線和圓相切的性質(zhì)求得AM的斜率為1，故AN的斜率為-1，把AM的方程和拋物線x2=y的方程聯(lián)立方程組，求得點M的坐標，同理求得N的坐標，可得直線MN的方程，再根據(jù)圓心B（0，2）到直線MN的距離正好等于半徑，可得直線MN與圓B相切．
解答： （1）解：設P（x，y），則Q（x，-1），由OP⊥OQ，可得
y
x
•
-1
x
=-1，由此能得到P點的軌跡C的方程為x2=y．
（2）證明：由題意可得點B（0，2），AB=
2
，設AM和圓B相切于點D，AN和圓B相切于點E，由于BD=1，AB和x軸平行，
∴△ABD為等腰直角三角形，故AM的斜率為1，故AN的斜率為-1．
設AM的直線方程為y-2=k（x+
2
），由
x2=y
y-2=k(x+2)
，求得
x=1+
2
y=3+2
2
，∴M（1+
2
，3+2
2
）．
同理求得N（
2
-1，3-2
2
），故直線MN的方程為
y-3+2
2
4
2
=
x-
2
+1
2
，即2
2
x-y-1=0．
由于圓心B（0，2）到直線MN的距離為
|0-2-1|
8+1
=1，正好等于圓B的半徑，
把AM的方程和圓B的方程連立方程組
由此知直線MN與圓B相切．
點評：本題主要考查直線和圓相切的性質(zhì)，點到直線的距離公式的應用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于基礎(chǔ)題．
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相關(guān)習題

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在空間中，a，b是不重合的直線，α，β是不重合的平面，則下列條件中可推出a∥b的是（　�。�
A、a?α，b?β，α∥β
B、a∥α，b?β
C、a⊥α，b⊥β
D、a⊥α，b?α

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設m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，有下列四個命題：其中正確命題的序號是（　�。�
①若m?β，α⊥β則m⊥α；
②若m?β，α∥β，則m∥α；
③若m⊥α，m⊥β，n⊥α，則n⊥β；
④若m∥α，m∥β，n∥α，則n∥β．
A、③④B、①②C、②④D、②③

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在直角△ABC中，已知A（-3，0），B（3，0），直角頂點C．
（1）點C的軌跡是什么，求其軌跡方程；
（2）延長BC至D使得|DC|=|BC|，求點D的軌跡方程；
（3）連接OD交AC于點P，求點P的軌跡方程．

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函數(shù)f（x）=
1-2x
+
1
x+3
的定義域為（　　）
A、（-3，0]
B、（-3，1]
C、（-∞，-3）∪（-3，0]
D、（-∞，-3）∪（-3，1]

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已知函數(shù)f（x）=mx2-2（3-m）x+4，g（x）=mx，若對于任一實數(shù)x，f（x）與g（x）至少有一個為正數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是（　�。�
A、（0，3]
B、（0，9）
C、（1，9）
D、（-∞，9]

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax3+bx2-3x+a+2b-1是R上的奇函數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求f′（2）+f′（-2）的值；
（3）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

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已知圓：（x-1）2+y2=1，O為原點，作弦OA，則OA中點的軌跡方程是
 
．

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數(shù)列1，4，9，16，25，…的一個通項公式an=（　�。�
A、n2-1
B、n2
C、2n2-1
D、2n-1

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