Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x-ln（x+m），其中常數(shù)m為整數(shù)。
（1）當(dāng)m為何值時(shí)，f（x）≥0；
（2）定理：若函數(shù)g（x）在[a，b]上連續(xù)，且g（a）與g（b）異號(hào)，則至少存在一點(diǎn)x₀∈（a，b），使g（x₀）=0，試用上述定理證明：當(dāng)整數(shù)m＞1時(shí)，方程f（x）=0，在[e^-m-m，e^2m-m]內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根。

Answer 1

解：（1）函數(shù)f（x）=x-ln（x+m），x∈（-m，+∞）連續(xù)，且
，令，得
當(dāng)x∈（-m，1-m）時(shí)，f '（x）＜0，f（x）為減函數(shù)，f（x）>f（1-m）
當(dāng)x∈（1-m，+∞）時(shí)，f '（x）>0，f（x）為增函數(shù)，f（x）>f（1-m）
根據(jù)函數(shù)極值判別方法，f（1-m）=1-m為極小值，而且對(duì)x∈（-m，+∞）都有f（x）≥f（1-m）=1-m
故當(dāng)整數(shù)m≤1時(shí)，f（x）≥1-m≥0。
（2）由（1）知，當(dāng)整數(shù)m>1時(shí)，f（1-m）=1-m＜0，
函數(shù)f（x）=x-ln（x+m），在上為連續(xù)減函數(shù)

當(dāng)整數(shù)m＞1時(shí)，與異號(hào)
由所給定理知，存在唯一的，使
而當(dāng)整數(shù)m>1時(shí)，

類似地，當(dāng)整數(shù)m>1時(shí)，函數(shù)f（x）=x-ln（x+m），在上為連續(xù)增函數(shù)
且f（1-m）與異號(hào)，
由所給定理知，存在唯一的，使
故當(dāng)m>1時(shí)，方程f（x）=0在內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根。