已知：正三棱柱A1B1C1—ABC中，AA1=AB=a,D為CC1的中點(diǎn)，F是A1B的中點(diǎn)，A1D與AC的延長線交于點(diǎn)M，

    (Ⅰ)求證：DF∥平面ABC；

    (Ⅱ)求證：AF⊥BD；

    (Ⅲ)求平面A1BD與平面ABC所成的較小二面角的大小.

 

答案：
解析：

答案：(Ⅰ)證明：取AB中點(diǎn)E，連EF、CE，

    ∵F為AB中點(diǎn)，

    ∴EF∥AA1∥CC1，且.

    ∵D為CC1中點(diǎn)，∴.

    又AA1∥CC1,∴EF∥CD且EF=CD，

    ∴四邊形EFDC為平行四邊形，

    ∴DF∥CE.

    ∵DF面ABC，∴DF∥面ABC.

    (Ⅱ)證明：∵A1A=AB，F為A1B中點(diǎn)，

    ∴AF⊥A1B.

    ∵AA1⊥面ABC，∴AA1⊥CE.

    又DF∥CE，∴DF⊥AA1.

    ∵A1ACC1，B1BCC1為正方形，D為CC1中點(diǎn),

    ∴A1D=BD，∴DF⊥A1B.

    ∴DF⊥面AA1B，∴DF⊥AF.

    ∴AF⊥面A1BD，∴AF⊥BD.

    (Ⅲ)解：∵CD∥AA1，

    ∴，D為A1M中點(diǎn)，

    又F為A1B中點(diǎn)，

    ∴DF∥BM.由(Ⅱ)知DF⊥面AA1B，

    ∴BM⊥面AA1B，∴BM⊥A1B，BM⊥AB.

    ∴∠A1BA為平面A1BM與面ABC所成二面角的平面角.

    即∠A1BA為平面A1BD與平面ABC所成的二面角的平面角.

    ∵A1ABB1為正方形，

    ∴∠A1BA=45°即為所求二面角大小.

 


練習(xí)冊系列答案
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=λ
A1B
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（Ⅱ）求證：AE⊥BD；
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    (Ⅰ)求證：DF∥平面ABC；

    (Ⅱ)求證：AF⊥BD；

    (Ⅲ)求平面A1BD與平面ABC所成的較小二面角的大小.

 

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已知：正三棱柱A1B1C1—ABC中，AA1=AB=a，D為CC1的中點(diǎn)，F是A1B的中點(diǎn)，A1D與AC的延長線交于點(diǎn)M，

(1)求證：DF∥平面ABC；

(2)求證：AF⊥BD；

(3)求平面A1BD與平面ABC所成的較小二面角的大�。�

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