Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，且4a_n+1-a_na_n+1+2a_n=9．
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）猜想a_n的表達式；
（3）用數(shù)學(xué)歸納法證明（2）中的猜想．

Answer 1

解：（1）∵a₁=1，4a_n+1-a_na_n+1+2a_n=9，
∴4a₂-a₂+2=9，解得a₂=，同理求得a₃=，a₄=；
（2）由a₁=1，a₂=，a₃=，a₄=，猜想a_n=；
（3）證明：①當(dāng)n=1時，a₁=1，右端=1，等式成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k時，等式成立，即a_k=，
那么，當(dāng)n=k+1時，
∵4a_k+1-a_k•a_k+1+2a_k=9，
∴a_k+1====，
即當(dāng)n=k+1時，等式也成立；
由①②得對任意n∈N*，等式均成立．
分析：（1）當(dāng)n=1時，將a₁=1，代入4a_n+1-a_na_n+1+2a_n=9可求得a₂，同理可求得a₃，a₄的值；
（2）由（1）求得a₂=，，a₄=，觀察分母與項數(shù)之間的關(guān)系，可找到規(guī)律，同樣，每一項的分子7，13，19，…可構(gòu)成等差數(shù)列，于是可猜得a_n的表達式；
（3）用數(shù)學(xué)歸納法進行證明時，第二步假設(shè)n=k時成立，證明n=k+1結(jié)論也成立時需用好歸納假設(shè)．
點評：本題考查數(shù)學(xué)歸納法，數(shù)列遞推式，關(guān)鍵在于根據(jù)a₁、a₂、a₃、a₄的值猜想出a_n=，然后再用數(shù)學(xué)歸納法予以證明，證明的難點在于，“n=k+1時，等式成立”的證明，要把已知條件4a_n+1-a_na_n+1+2a_n=9與歸納假設(shè)完美的結(jié)合，屬于難題．