Question

已知f（x）=2cos²

wx

2

+

3

sinwx+a的圖象上相鄰兩對稱軸的距離為

π

2

．
（1）若x∈R，求f（x）的遞增區(qū)間；
（2）若x∈[0，

π

2

]時(shí)，f（x）的最大值為4，求a的值．

Answer 1

分析：利用兩角和的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，由f（x）的圖象上相鄰的兩條對稱軸的距離是

π

2

，得到周期為π，進(jìn)而求出w的值，確定出函數(shù)解析式，
（1）由正弦函數(shù)的遞增區(qū)間[-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ]（k∈Z），即可求出f（x）的遞增區(qū)間；
（2）由確定出的函數(shù)解析式，根據(jù)x的范圍求出這個(gè)角的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出函數(shù)的最大值，即可得到a的值．

解答：解：已知f（x）=

3

sinwx+coswx+a+1=2sin（wx+

π

6

）+a+1
由

T

2

=

π

2

，則T=π=

2π

w

，∴w=2
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）+a+1
（1）令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ
則-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ
故f（x）的增區(qū)間是[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z；
（2）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，

π

6

≤2x+

π

6

≤

7

6

π
∴sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
∴f_max（x）=2+a+1=4，∴a=1．

點(diǎn)評：此題考查了兩角和的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性，以及正弦函數(shù)的定義域與值域，熟練掌握公式及法則是解本題的關(guān)鍵．