Question

(2009山東卷理) （本小題滿(mǎn)分14分）

設(shè)橢圓E: （a,b>0）過(guò)M（2，） ，N (,1)兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，

（I）求橢圓E的方程；

（II）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線(xiàn)與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且？若存在，寫(xiě)出該圓的方程，并求|AB |的取值范圍，若不存在說(shuō)明理由。

Answer 1

，

解析:

解:（1）因?yàn)闄E圓E: （a,b>0）過(guò)M（2，） ，N (,1)兩點(diǎn),

所以解得所以橢圓E的方程為

（2）假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線(xiàn)與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且,設(shè)該圓的切線(xiàn)方程為解方程組得,即,      

則△=,即

,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因?yàn)橹本�(xiàn)為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線(xiàn),所以圓的半徑為,,,所求的圓為,此時(shí)圓的切線(xiàn)都滿(mǎn)足或,而當(dāng)切線(xiàn)的斜率不存在時(shí)切線(xiàn)為與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為或滿(mǎn)足,綜上, 存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線(xiàn)與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且.

因?yàn)?img width=127 height=88 src="http://thumb.1010pic.com/pic1/1899/sx/5/380605.gif" >,

所以,

, 

①當(dāng)時(shí)

因?yàn)?img width=105 height=41 src="http://thumb.1010pic.com/pic1/1899/sx/38/380638.gif" >所以,

所以,

所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取”=”.      

②       當(dāng)時(shí),.

③       當(dāng)AB的斜率不存在時(shí), 兩個(gè)交點(diǎn)為或,

所以此時(shí),

綜上, |AB |的取值范圍為即: