(2010•昆明模擬)過拋物線y2=ax(a>0)焦點F作斜率為1的直線交拋物線于P1、P2兩點,以P1P2為直徑的圓心M到準線的距離為8,則此圓的方程是( 。
分析:由拋物線的方程表示出焦點F的坐標及準線方程,表示出過F且斜率為1的直線方程,與拋物線解析式聯(lián)立組成方程組,消去y得到關(guān)于x的方程,設P1(x1,y1),P2(x2,y2),利用韋達定理表示出x1+x2,利用線段中點坐標公式表示出M的橫坐標,根據(jù)M到準線的距離為8列出關(guān)于a的方程,求出方程的解得到a的值,確定出直線方程及M的橫坐標,求出M的縱坐標,即為圓心坐標,由兩點間的距離公式求出|P1P2|的長,其一半即為圓的半徑,寫出圓的標準方程即可.
解答:解:由拋物線y2=ax(a>0),得到焦點F(
a
4
,0),準線為x=-
a
4
,
則過焦點斜率為1的直線方程為y=x-
a
4
,
與拋物線方程聯(lián)立,消去y得:(x-
a
4
2=ax,即16x2-24ax+a2=0,
設P1(x1,y1),P2(x2,y2),可得x1+x2=
3a
2
,
∴線段P1P2的中點M橫坐標為
3a
4
,
∴M到準線的距離d=
3a
4
-(-
a
4
)=a=8,
∴直線方程為y=x-2,M橫坐標為6,
將x=6代入直線方程,解得y=4,
∴M(6,4),
又|P1P2|=x1+x2+
a
2
=16,
∴圓M的半徑為8,
則所求圓的方程為(x-6)2+(y-4)2=64.
故選A
點評:此題考查了圓的標準方程,涉及的知識有:拋物線的簡單性質(zhì),韋達定理,以及中點坐標公式,其中根據(jù)題意確定出圓心與半徑是解本題的關(guān)鍵.
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