Question

已知函數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，如果函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，試比較與1的大小；
（Ⅲ）求證：．

Answer 1

（Ⅰ）或
（Ⅱ）①當(dāng)時(shí)，，即；
②當(dāng)時(shí)，，即；
③當(dāng)時(shí)，，即．
（Ⅲ）見解析

(I)當(dāng)時(shí)，g(x)=f(x)-k有一個(gè)零點(diǎn)，實(shí)質(zhì)是y=f(x)與直線y=k有一個(gè)公共點(diǎn)，所以利用導(dǎo)數(shù)研究y=f(x)的單調(diào)性，極值，最值，作出圖像可求出k的取值范圍.
(II)當(dāng)a=2時(shí)，令,然后利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)區(qū)間及最值，然后再分類討論f(x)與1的大小關(guān)系.
(III)解本小題的關(guān)鍵是根據(jù)（2）的結(jié)論，當(dāng)時(shí)，，即．
令，則有，從而得,問題得解.
解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，定義域是，
，令，得或．  …2分
當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
函數(shù)在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．  ……………4分
的極大值是，極小值是．
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)僅有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，的取值范圍是或．……………5分
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823232216306525.png" style="vertical-align:middle;" />．
令，
，    在上是增函數(shù)． ………7分
①當(dāng)時(shí)，，即；
②當(dāng)時(shí)，，即；
③當(dāng)時(shí)，，即．……………9分
（Ⅲ）（法一）根據(jù)（2）的結(jié)論，當(dāng)時(shí)，，即．
令，則有，   
． ……………12分
，．  ……………14分
（法二）當(dāng)時(shí)，．
，，即時(shí)命題成立．…………………10分
設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立，即．
時(shí)，．
根據(jù)（Ⅱ）的結(jié)論，當(dāng)時(shí)，，即．
令，則有，
則有，即時(shí)命題也成立．……………13分
因此，由數(shù)學(xué)歸納法可知不等式成立．……………………14分
（法三）如圖，根據(jù)定積分的定義，

得．……11分

，

．……………………12分
，
又，，
．
．………………14分