Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，動(dòng)點(diǎn)P在底面ABCD內(nèi)，且P到棱AD的距離與到面對(duì)角線BC₁的距離相等，則點(diǎn)P的軌跡是（　�。�

• A、線段
• B、橢圓的一部分
• C、雙曲線的一部分
• D、拋物線的一部分

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱的結(jié)構(gòu)特征

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：作PM⊥AD、PE⊥BC、EF⊥BC₁，連接PF，由線面垂直的判定定理、定義可得：PF是P到BC₁的距離，以D為原點(diǎn)，AD所在直線為x軸，DC所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系，利用條件建立方程，化簡(jiǎn)后判斷出點(diǎn)P的軌跡．

解答： 解：假設(shè)正方體邊長(zhǎng)為1，
作PM⊥AD、PE⊥BC、EF⊥BC₁，連接PF，
因?yàn)镻E⊥CC₁，BC∩CC₁=C，所以PE⊥平面BCB₁C₁，
則PE⊥BC₁，又EF⊥BC₁，PE∩EF=E，
所以BC₁⊥平面PEF，則BC₁⊥PF，
所以PF是P到對(duì)角線BC₁的距離，
以D為原點(diǎn)，AD所在直線為x軸，DC所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系；
設(shè)任意一點(diǎn)P（x，y），到直線AD距離為|y|，到BC的距離PE=1-y，
在RT△BEF中，BE=1-x，EF=

2

2

(1-x)，
在RT△PEF中，PF=

PE2+EF2

=

(1-y)2+[ 2 2 (1-x)]2

，
因?yàn)镻到棱AD的距離與到對(duì)角線BC₁的距離相等，
所以|y|=

(1-y)2+[ 2 2 (1-x)]2

，
化簡(jiǎn)得，（x-1）²=-4y+2（y≤

1

2

），
所以點(diǎn)P的軌跡是拋物線的一部分，
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程以及軌跡，線面垂直的判定定理、定義，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，確定軌跡方程是關(guān)鍵．