Question

已知定點(diǎn)F（1，0），F(xiàn)′（-1，0），動(dòng)點(diǎn)P滿足||，||，|PF′|成等差數(shù)列
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程
（2）過點(diǎn)F（1，0）且與x軸不重合的直線l與E交于M、N兩點(diǎn)，以MN為對(duì)角線的正方形的第三個(gè)頂點(diǎn)恰在y軸上，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用等差數(shù)列的意義和橢圓的定義即可得出；
（2）對(duì)直線l的斜率分類討論，利用中垂線方程和正方形的性質(zhì)即可得出．
解答：解：（1）由題意可得：=2，
由橢圓的定義可得：動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E是橢圓，且a=，c=1，∴b²=a²-c²=1，
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程為．
（2）①當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，l：x=1．
此時(shí)M，N，以MN為對(duì)角線的正方向的另外兩個(gè)頂點(diǎn)為，不合題意；
②當(dāng)直線l與x軸既不垂直也不重合時(shí)，設(shè)l：y=k（x-1）（k≠0），設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
聯(lián)立，得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，
∴，．
∴MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為．
則線段MN的中垂線m的方程為，
即，
則直線m與y軸的交點(diǎn)為，
而以MN為對(duì)角線的正方形的第三個(gè)頂點(diǎn)Q恰在y軸上，
∴QM⊥QN，即，
整理得（y₁+y₂）+，（*）
由
代入（*）解得k=±1．
故所求直線方程為x+y-1=0或x-y-1=0．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握等差數(shù)列的意義和橢圓的定義、分類討論、中垂線方程和正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．