Question

11．已知函數(shù)f（x）的定義域為R，若?常數(shù)c＞0，對?x∈R，都有f（x）+c≥f（x+c），則稱函數(shù)f（x）具有性質(zhì)P，給定下列三個函數(shù)：
①f（x）=$\frac{1}{2}$x+1；②f（x）=x²；③f（x）=2^x．
其中，具有性質(zhì)P的函數(shù)的序號是（　　）

• A． ①
• B． ②
• C． ③
• D． ①③

Answer 1

分析 直接利用新定義，逐一判斷選項即可．

解答 解：函數(shù)f（x）的定義域為R，若?常數(shù)c＞0，對?x∈R，都有f（x）+c≥f（x+c），
則稱函數(shù)f（x）具有性質(zhì)P，給定下列三個函數(shù)：
對于①f（x）=$\frac{1}{2}$x+1；f（x）+c=$\frac{1}{2}$x+1+c＞$\frac{1}{2}$x+1+$\frac{c}{2}$=f（x+c），滿足新定義，所以①正確；
對于②f（x）=x²；f（x）+c=x²+c；
f（x+c）=（x+c）²=x²+2cx+c²，對?x∈R，1≥2x+c，不恒成立，所以②不正確；
對于③f（x）=2^x，f（x）+c=2^x+c；
f（x+c）=2^x+c=2^c2^x，如果f（x）+c≥f（x+c），可得2^x+c≥2^c2^x，即$\frac{c}{{2}^{c}-1}≥{2}^{x}$，
此式對于?x∈R不恒成立，所以③不滿足新定義．
故選：A．

點評 本題考查新定義的應(yīng)用，函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．