Question

已知函數(shù)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，不等式f（x）+xf′（x）＜0恒成立．若a=3^0.3•f（3^0.3），b=（log₄3）•f（log₄3），c=(log2

1

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)•f(log2

1

4

)，則a，b，c的大小關(guān)系是（　�。�

A．c＞a＞b

B．a(chǎn)＞c＞b

C．a(chǎn)＞b＞c

D．c＞b＞a

Answer 1

分析：令g（x）=xf（x），則g′（x）=f（x）+xf′（x），當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，由于不等式f（x）+xf′（x）＜0恒成立，可得g（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減．由于函數(shù)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，可得g（-x）=-xf（-x）=xf（x）=g（x），是R上的偶函數(shù)．進(jìn)而得到g（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)．再利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答：解：令g（x）=xf（x），則g′（x）=f（x）+xf′（x），
當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，∵不等式f（x）+xf′（x）＜0恒成立，∴g（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，
∵函數(shù)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，∴g（-x）=-xf（-x）=xf（x）=g（x），是R上的偶函數(shù)．
∴g（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)．
∵log2

1

4

=-2，∴c=g（-2）=g（2）．
而2¹⁰＞3³，∴2＞3^0.3．
∴2＞3^0.3＞1＞log₄3＞0，
∴g（2）＞g（3^0.3）＞g（log₄3）．
即c＞a＞b．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了通過構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．