Question

如圖，AD是△ABC邊BC上的高．
（1）若△ABC的面積S=

1

2

AB•AC，BD=4，DC=3，求AD的長；
（2）若△ABC另外兩條邊上的高BE，CF 與AD相交于點H，求證：AD平分∠EDF．

Answer 1

分析：（1）若△ABC的面積S=

1

2

AB•AC，則A=90°，由射影定理求得斜邊上的高AD的值．
（2）先判斷BDHF四點共圓，可得∠FBH=∠FDH．同理可得，∠ECH=∠EDH．再由∠FBH=90°-A，∠ECH=90°-A 可得∠FDH=∠EDH，從而得出結(jié)論．

解答：解：（1）若△ABC的面積S=

1

2

AB•AC，則A=90°，由射影定理可得 AD²=BD•CD=4×3=12，∴AD=2

3

．
（2）∵△ABC另外兩條邊上的高BE，CF 與AD相交于點H，∴∠HDB=∠HFB=90°，故BDHF四點共圓，
∴∠FBH=∠FDH．
同理可得，∠ECH=∠EDH．
又∠FBH=90°-A，∠ECH=90°-A，∴∠FDH=∠EDH，即 AD平分∠EDF．

點評：本題主要考查圓內(nèi)接多邊形的性質(zhì)、解三角形，屬于中檔題．