Question

1．已知橢圓 $C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$，離心率$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，它的長軸長等于圓x²+y²-2x+4y-3=0的直徑．
（1）求橢圓 C的方程；
（2）若過點(diǎn)$P（{0，\frac{2}{3}}）$的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)Q，使得以AB為直徑的圓經(jīng)過這個定點(diǎn)，若存在，求出定點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由？

Answer 1

分析 （1）求出圓的直徑為$4\sqrt{2}$，推出a，由離心率求解c，然后求解橢圓C的方程．
（2）猜想存在點(diǎn)Q（0，2），使得以 AB為直徑的圓經(jīng)過這個定點(diǎn)．設(shè)直線 AB的方程為$y=kx-\frac{2}{3}$，與橢圓$C：\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$，聯(lián)立方程組得：$（{1+2{k^2}}）{x^2}-\frac{8}{3}kx-\frac{64}{9}=0$，設(shè)交點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用韋達(dá)定理，向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：（1）圓方程x²+y²-2x+4y-3=0化為（x-1）²+（y+2）²=8，則圓的直徑為$4\sqrt{2}$，∴$2a=4\sqrt{2}$，
由$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$得：c=2，b²=a²-c²=8-4=4，
以橢圓C的方程：$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$．
（2）過點(diǎn)$P（{0，-\frac{2}{3}}）$作斜率為0和斜率不存在的直線l交橢圓C的兩個交點(diǎn)為直徑的圓分別為${x^2}+{（{y+\frac{2}{3}}）^2}=\frac{64}{9}$和x²+y²=4，這兩個圓的交點(diǎn)為（0，2）．
所以猜想存在點(diǎn)Q（0，2），使得以 AB為直徑的圓經(jīng)過這個定點(diǎn)．
設(shè)直線 AB的方程為$y=kx-\frac{2}{3}$，與橢圓$C：\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$，
聯(lián)立方程組得：$（{1+2{k^2}}）{x^2}-\frac{8}{3}kx-\frac{64}{9}=0$，
設(shè)交點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）得，${x_1}+{x_2}=\frac{{\frac{8}{3}k}}{{1+2{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{-\frac{64}{9}}}{{1+2{k^2}}}$，
則$\overrightarrow{QA}•\overrightarrow{QB}=（{{x_1}，{y_1}-2}）•（{{x_2}，{y_2}-2}）=（{1+{k^2}}）{x_1}{x_2}-\frac{8}{3}（{{x_1}+{x_2}}）+\frac{64}{9}$
=$（{1+{k^2}}）\frac{{-\frac{64}{9}}}{{1+2{k^2}}}-\frac{8}{3}\frac{{\frac{8}{3}k}}{{1+2{k^2}}}+\frac{64}{9}=-\frac{64}{9}\frac{{1+2{k^2}}}{{1+2{k^2}}}+\frac{64}{9}=0$，
所以$\overrightarrow{QA}⊥\overrightarrow{QB}$，
即以 AB為直徑的圓經(jīng)過這個定點(diǎn)Q（0，2）．

點(diǎn)評 本題考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，向量在幾何中的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及分析問題解決問題的能力．