Question

已知函數(shù)f（x）=x⁴-4x³+ax²+1．
（1）當a=4時，求f（x）的單調區(qū)間和極值；
（2）若對任意x∈R，f（x）≥2ax-f'（x）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）正確求解該函數(shù)的導數(shù)是解決本題的關鍵，通過求解函數(shù)的臨界點，確定出函數(shù)的單調區(qū)間的分段點，通過導函數(shù)的正負確定出函數(shù)的增減區(qū)間進而確定出函數(shù)的極值；
（2）將恒成立問題進行轉化與化歸是解決本題的關鍵．通過整體思想轉化為二次問題是解決本題的關鍵．注意分類討論思想的運用，列出關于字母a的不等式達到求解本題的目的．
解答：解：（1）當a=4時，令f′（x）=4x³-12x²+8x=0，得x=0或x=1或x=2，
∴由f′（x）＞0得出f（x）的單調增區(qū)間為（0，1），（2，+∞）；由f′（x）＜0得出f（x）的單調減區(qū)間為（-∞，0），（1，2）．
因此f（x）_極大=f（1）=2，f（x）_極小=f（0）=1，f（x）_極小=f（2）=1．
（2）由f（x）≥2ax-f'（x）恒成立，得x⁴-4x³+ax²+1≥2ax-（4x³-12x²+2ax），
即x⁴+（a-12）x²+1≥0恒成立，∴或，
解得a≥10．故a的取值范圍為[10，+∞）．
點評：本題考查多項式函數(shù)導數(shù)的求解，考查導數(shù)作為工具求解函數(shù)的極值和最值問題，考查學生的運算能力、轉化與化歸的思想和方法，考查學生分析問題解決問題的能力和意識．