已知函數(shù)f(x)=x4-4x3+ax2+1.
(1)當a=4時,求f(x)的單調區(qū)間和極值;
(2)若對任意x∈R,f(x)≥2ax-f'(x)恒成立,求a的取值范圍.
【答案】
分析:(1)正確求解該函數(shù)的導數(shù)是解決本題的關鍵,通過求解函數(shù)的臨界點,確定出函數(shù)的單調區(qū)間的分段點,通過導函數(shù)的正負確定出函數(shù)的增減區(qū)間進而確定出函數(shù)的極值;
(2)將恒成立問題進行轉化與化歸是解決本題的關鍵.通過整體思想轉化為二次問題是解決本題的關鍵.注意分類討論思想的運用,列出關于字母a的不等式達到求解本題的目的.
解答:解:(1)當a=4時,令f′(x)=4x
3-12x
2+8x=0,得x=0或x=1或x=2,
∴由f′(x)>0得出f(x)的單調增區(qū)間為(0,1),(2,+∞);由f′(x)<0得出f(x)的單調減區(qū)間為(-∞,0),(1,2).
因此f(x)
極大=f(1)=2,f(x)
極小=f(0)=1,f(x)
極小=f(2)=1.
(2)由f(x)≥2ax-f'(x)恒成立,得x
4-4x
3+ax
2+1≥2ax-(4x
3-12x
2+2ax),
即x
4+(a-12)x
2+1≥0恒成立,∴
或
,
解得a≥10.故a的取值范圍為[10,+∞).
點評:本題考查多項式函數(shù)導數(shù)的求解,考查導數(shù)作為工具求解函數(shù)的極值和最值問題,考查學生的運算能力、轉化與化歸的思想和方法,考查學生分析問題解決問題的能力和意識.