Question

已知當(dāng)x=5時(shí)，二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c取得最小值，等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=f（n），a₂=-7．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，且，證明．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用二次函數(shù)在對稱軸處取得最小值列出關(guān)于a，b的等式；利用數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系得到通項(xiàng)的形式，利用已知條件a₂=-7求出參數(shù)a的值，進(jìn)一步得到數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（II）求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)，根據(jù)其通項(xiàng)是一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的積構(gòu)成，所以利用錯(cuò)位相減法求出前n項(xiàng)和
T_n，分n≤4和n＞4進(jìn)行證明．
解答：解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=a+b+c，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2an+b-a，
又a₁適合上式，得2a+b-a=a+b+c，∴c=0．
由已知，
解方程組得
∴a_n=2n-11．
（Ⅱ），
∴①②
①-②得
==，
∴．
則，，，
當(dāng)n≥4時(shí)，，∴，
綜上，得．
點(diǎn)評：求數(shù)列的前n項(xiàng)和應(yīng)該先求出數(shù)列的通項(xiàng)，根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)的特點(diǎn)選擇合適的求和方法．常見的求和方法有：公式法、倒序相加法、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法、分組法．