21.已知a是實數(shù),函數(shù)f(x)=2ax2+2x-3-a.如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[-l,1]上有零點,求a的取值范圍.

解:(解法一)若a=0,則函數(shù)f(x)=2x-3在區(qū)間[-1,1]上沒有零點.

下面就a≠0時分三種情況討論:

(1)方程f(x)=0在區(qū)間   [-1,1]上有重根.

此時△=4(2a2+6a+1)=0,

解得a=

當(dāng)a=時,f(x)=0的重根x=[-1,1];

當(dāng)a=時,f(x)=0的重根x=[-1,1];

故當(dāng)方程f(x)=0在區(qū)間[-1,1]上有重根時,a=.

(2)f(x)在區(qū)間[-1,1]上只有一個零點且不是f(x)=0的重根.

此時有f(-1)f(1)≤0.

f(-1)=a-5,f(1)=a-1,

∴(a-5)(a-1)≤01≤a≤5.

∵當(dāng)a=5時,方程f(x)=0在區(qū)間[-1,1]上有兩個相異實根.

故當(dāng)方程f(x)=0在區(qū)間[-1,1]上只有一個根且不是重根時,1≤a<5.

(3)方程f(x)=0在區(qū)間[-1,1]上有兩個相異實根

因為函數(shù)f(x)=2a

其圖象的對稱軸方程為x=,a應(yīng)滿足:

(Ⅰ)或(Ⅱ)

解不等式組(Ⅰ)得a≥5.

解不等式組(Ⅱ)得a

故當(dāng)方程f(x)=0,在區(qū)間[-1,1]上有兩個相異實根時,

a

注意到當(dāng)1≤a<5,f(-1)f(1) ≤0,方程f(x)=0在區(qū)間[-1,1]上有根;

當(dāng)a時,由于方程f(x)=0在[-1,1]上有根;

當(dāng)a=時,方程f(x)=0在區(qū)間[-1,1]有根.

綜上所述,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[-1,1]有零點,則a的取值范圍是

(解法二)若a=0,則函數(shù)f(x)=2x-3在區(qū)間[-1,1]上沒有零點.

下面討論a≠0時的情況:

(1)若f(-1)f(1)≤0,則f(x)必在[-1,1]上有零點.

f(-1)=a-5,f(1)=a-1,

∴(a-5)(a-1)≤01≤a≤5.

即1≤a≤5時,函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,1]上有零點.

(2)若f(-1)f(1)>0,下面分兩種情況討論:

①當(dāng)f(-1)=a-5>0,f(1)=a-1>0,即a>5時,

有||<1,拋物線y=f(x)的對稱軸x=必在直線x=-1和x=1之間,且f

于是f(-1)f(-)<0,f(1)f(-)<0,

所以函數(shù)f(x)在區(qū)間內(nèi)各有一個零點.

故當(dāng)a>5時,函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,1]上有零點.

②當(dāng)f(-1)=a-5<0,f(1)=a-1<0,即a<1時,

i. 當(dāng)0<a<1時,f(x)=0的兩根x1,2=

由于1+6a+2a2-(1+2a)2=2a(1-a)>0,

所以

于是x1=

故當(dāng)0<a<1時,函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,1]沒有零點.

ii. 當(dāng)a<0時,若函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,1]有零點,則f(x)的最大值f(-)≥0.

否則由于f(-)是最大值,函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,1]沒有零點.

此時拋物線y=f(x)的對稱軸x=-在直線x=-1和x=1之間,即a滿足解得a

即當(dāng)a時,函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,1]有零點.

綜上所述,若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[-1,1]有零點,則a的取值范圍是  


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