已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
3
，橢圓上的點到右焦點F的最近距離為2，若橢圓C與x軸交于A、B兩點，M是橢圓C上異于A、B的任意一點，直線MA交直線l：x=9于G點，直線MB交直線l于H點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）試探求
FG
•
FH
是否為定值？若是，求出此定值，若不是說明理由．
分析：（1）根據(jù)橢圓的離心率為
1
3
，橢圓上的點到右焦點F的最近距離為2，確定幾何量，即可求橢圓C的方程；
（2）設(shè)M，A，B的坐標，求出G、H的坐標，利用M在橢圓上及向量的數(shù)量積公式，化簡即可得到結(jié)論．
解答：解：（1）由題意得
c
a
=
1
3
a-c=2
，∴
c=1
a=3
…（2分）
∴b2=a2-c2=8
∴橢圓C的方程為：
x2
9
+
y2
8
=1．…（4分）
（2）設(shè)M，A，B的坐標分別為M（x0，y0）、A（-3，0）、B（3，0），
則直線MA的方程為：y=
y0
x0+3
(x+3)…（6分）
令x=9得G(9，
12y0
x0+3
)，同理得H(9，
6y0
x0-3
)．…（8分）
∵M在橢圓上，∴
x02
9
+
y02
8
=1，∴
y
2
0
=8(1-
x
2
0
9
)．…（10分）
∴
FG
•
FH
=(8，
6y0
x0-3
)•(8，
12y0
x0+3
)=64+
72y02
x02-9
=64+
72•8(1-
x
2
0
9
)
x02-9
=0．
∴
FG
•
FH
為定值0．…（12分）
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查向量知識的運用，考查學生的計算能力，正確求向量的數(shù)量積是關(guān)鍵．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，且經(jīng)過點P(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長為2
3
，右焦點F與拋物線y2=4x的焦點重合，O為坐標原點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)A、B是橢圓C上的不同兩點，點D（-4，0），且滿足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直線AB的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過點A（1，
3
2
），且離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點B（-1，0）能否作出直線l，使l與橢圓C交于M、N兩點，且以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標原點O．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•房山區(qū)二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長軸長是4，離心率為
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)過點P（0，-2）的直線l交橢圓于M，N兩點，且M，N不與橢圓的頂點重合，若以MN為直徑的圓過橢圓C的右頂點A，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短軸長為2，離心率為
2
2
，設(shè)過右焦點的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，過A，B作直線x=2的垂線AP，BQ，垂足分別為P，Q．記λ=
AP+BQ
PQ
，若直線l的斜率k≥
3
，則λ的取值范圍為
 
．

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