Question

已知函數f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1（k∈R）．
（1）若k=2，求以M（2，f（2））為切點的曲線的切線方程；
（2）若函數f（x）≤0恒成立，確定實數K的取值范圍；
（3）證明：．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用導數研究函數在x=2處的導數，得到切線的斜率，然后根據點斜式可得切線方程；
（2）利用導數研究函數的單調性，求出函數的最大值，使最大值小于等于0，可求出k的取值范圍；
（3）由（2）知ln（x-1）＜x-2，則，取x=3，4，5…n，n+1累加可得結論．
解答：解：（1）k=2，f（x）=ln（x-1）-2x+3
，則f′（2）=-1
∴k=-1，切線方程為x+y-1=0；
（2）得
當k≤0時，f′（x）＞0函數f（x）在定義域內單調遞增，f（x）≤0不恒成立，
當k＞0時，函數f（x）在單調遞增，在單調遞減，
當時，f（x）取最大值，∴k≥1
（3）由（2）知k=1時，f（x）≤0恒成立，即ln（x-1）＜x-2
∴取x=3，4，5…n，n+1累加得
＜．
點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，以及函數恒成立問題，同時考查了轉化的思想和計算的能力，屬于中檔題．