Question

已知函數(shù)f(x)=sin(

π

2

-x)+sinx．
（1）求f(

π

4

)的值；      
（2）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（3）若f(α-

π

4

)=

2

3

，求f(2α+

π

4

)的值．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)f（x）解析式第一項(xiàng)利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，整理后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，將x=

π

4

代入計(jì)算即可求出f（

π

4

）的值；
（2）找出ω的值，代入周期公式即可求出函數(shù)的最小正周期；
（3）根據(jù)f（α-

π

4

）=

2

3

，由f（x）解析式，求出sinα的值，將x=2α+

π

4

代入f（x）解析式計(jì)算即可求出f（2α+

π

4

）的值．

解答：解：（1）f（x）=cosx+sinx=

2

（

2

2

sinx+

2

2

cosx）=

2

sin（x+

π

4

），
則f（

π

4

）=

2

sin

π

2

=

2

；
（2）∵ω=1，∴T=

2π

1

=2π；
（3）∵f（α-

π

4

）=

2

sinα=

3

2

，
∴sinα=

1

3

，
∴f（2α+

π

4

）=

2

sin（2α+

π

2

）=

2

cos2α=

2

（1-2sin²α）=

2

×（1-

2

9

）=

7 2

9

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，二倍角的余弦函數(shù)公式，以及三角函數(shù)的周期性及其求法，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．