Question

已知二元一次不等式組

x+y≤4 y≥x x≥1

對應的平面區(qū)域為M
（1）若點P（x，y）是區(qū)域M內的任意一點，求目標函數Z=

y-1

x

的最大值；
（2）若點P（x，y）是區(qū)域M內的任意一點，求點P滿足條件（x-1）²+（y-1）²≤1的概率；
（3）若點Q（x，y）是不等式組

1≤x≤2 0≤y≤2

表示的區(qū)域內的任意一點，求點Q落在區(qū)域M內的概率．

Answer 1

考點：幾何概型

專題：綜合題,概率與統(tǒng)計

分析：（1）確定二元一次不等式組

x+y≤4 y≥x x≥1

對應的平面區(qū)域，目標函數Z=

y-1

x

的幾何意義是區(qū)域內的點與（0，1）連線的斜率，即可求目標函數Z=

y-1

x

的最大值；
（2）區(qū)域的面積為

1

2

×(3-1)×1=1，點P滿足條件（x-1）²+（y-1）²≤1落在區(qū)域內的面積為

1

8

π，則可求點P滿足條件（x-1）²+（y-1）²≤1的概率；
（3）不等式組

1≤x≤2 0≤y≤2

落在區(qū)域內的面積為

1

2

×1×1=

1

2

，則可求點Q落在區(qū)域M內的概率．

解答： 解：（1）二元一次不等式組

x+y≤4 y≥x x≥1

對應的平面區(qū)域為M，如圖所示，目標函數Z=

y-1

x

的幾何意義是區(qū)域內的點與（0，1）連線的斜率，由圖可知，點（1，3）處，目標函數Z=

y-1

x

的最大值為2；
（2）區(qū)域的面積為

1

2

×(3-1)×1=1，點P滿足條件（x-1）²+（y-1）²≤1落在區(qū)域內的面積為

1

8

π，
∴點P滿足條件（x-1）²+（y-1）²≤1的概率為

1

16

π；
（3）不等式組

1≤x≤2 0≤y≤2

落在區(qū)域內的面積為

1

2

×1×1=

1

2

，
∴點Q落在區(qū)域M內的概率為

1

2

．

點評：本題考查概率的計算，考查線性規(guī)劃知識，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．