【題目】已知函數(shù) f (x) = x ex (xR)
(Ⅰ)求函數(shù) f (x)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(Ⅱ)若x (0, 1), 求證: f (2 x) > f (x);
(Ⅲ)若x1 (0, 1), x2(1, +∞), 且 f (x1) = f (x2), 求證: x1 + x2 > 2.
【答案】(1)在()內(nèi)是增函數(shù), 在()內(nèi)是減函數(shù).在處取得極大值且(2)見解析(3)見解析
【解析】
(Ⅰ)直接利用函數(shù)的導數(shù),求出極值點,判斷導函數(shù)的符號,即可求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間及極值;
(Ⅱ)令g(x)=f(x)﹣f(2﹣x)求出g(x)=(x﹣1)(e2x﹣2﹣1)e﹣x,通過x>1,判斷g(x)在[1,+∞)上是增函數(shù),即可證明當x>1時,f(x)>f(2﹣x);
(Ⅲ)因為x1,x2分別在(0,1)和(1,+∞)利用函數(shù)的關(guān)系式,證明x1+x2>2.
解:=(1﹣x)e﹣x
令,則x=1
當x變化時,,f(x)的變化情況如下表:
x | (﹣∞,1) | 1 | (1,+∞) |
+ | 0 | ﹣ | |
f(x) | ↗ | 極大值 | ↘ |
∴f(x)在(﹣∞,1)上是增函數(shù),在(1,+∞)上是減函數(shù)
∴f(x)在x=1處取得極大值;
(Ⅱ)證明:令g(x)=f(x)﹣f(2﹣x)
則g(x)=xe﹣x﹣(2﹣x)ex﹣2
∴g(x)=(x﹣1)(e2x﹣2﹣1)e﹣x
∵當時, ,從而
所以,從而函數(shù)在是增函數(shù).∵e﹣x>0,∴g(x)>0,∴g(x)在[1,+∞)上是增函數(shù)
又∵g(1)=0∴0<x<1時,g(x)<g(1)=0
即當0<x<1時,f(x)<f(2﹣x)
(Ⅲ) 證明:∵
∴
由(Ⅱ)得:
∵
∴
∵在()內(nèi)是減函數(shù)
∴
即
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【題目】已知函數(shù)f(x)=sinωx﹣cosωx(ω>0),,若方程f(x)=﹣1在(0,π)上有且只有四個實數(shù)根,則實數(shù)ω的取值范圍為 ( )
A. (,] B. (,] C. (,] D. (,]
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【題目】記無窮數(shù)列的前項中最大值為,最小值為,令
(Ⅰ)若,請寫出的值;
(Ⅱ)求證:“數(shù)列是等差數(shù)列”是“數(shù)列是等差數(shù)列”的充要條件;
(Ⅲ)若 ,求證:存在,使得,有
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【題目】對于函數(shù),若在其定義域內(nèi)存在,使得成立,則稱函數(shù)具有性質(zhì).
()下列函數(shù)中具有性質(zhì)的有__________.
① ②
③ ④
()若函數(shù)具有性質(zhì),則實數(shù)的取值范圍是__________.
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【題目】某鎮(zhèn)在政府“精準扶貧”的政策指引下,充分利用自身資源,大力發(fā)展養(yǎng)殖業(yè),以增加收入.政府計劃共投入72萬元,全部用于甲、乙兩個合作社,每個合作社至少要投入15萬元,其中甲合作社養(yǎng)魚,乙合作社養(yǎng)雞,在對市場進行調(diào)研分析發(fā)現(xiàn)養(yǎng)魚的收益、養(yǎng)雞的收益與投入(單位:萬元)滿足.設(shè)甲合作社的投入為(單位:萬元),兩個合作社的總收益為(單位:萬元).
(1)若兩個合作社的投入相等,求總收益;
(2)試問如何安排甲、乙兩個合作社的投入,才能使總收益最大?
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【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在平面直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),在以坐標原點為極點,以軸正半軸為極軸的極坐標中,圓的方程為.
(1)寫出直線的普通方程和圓的直角坐標方程;
(2)若點的坐標為,圓與直線交于兩點,求的值.
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【題目】已知向量,向量,且函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間及其對稱中心;
(2)在中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c且角A滿足.若,BC邊上的中線長為3,求的面積S.
(3)將函數(shù)的圖像向左平移個長度單位,向下平移個長度單位,再橫坐標不變,縱坐標縮短為原來的后得到函數(shù)的圖像,令函數(shù)在的最小值為,求正實數(shù)的值.
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【題目】給出下列說法:
①“”是“”的充分不必要條件;
②定義在上的偶函數(shù)的最大值為30;
③命題“,”的否定形式是“,”.其中正確說法的個數(shù)為
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
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【題目】2018年國際乒聯(lián)總決賽在韓國仁川舉行,比賽時間為12月13﹣12月16日,在男子單打項目,中國隊準備選派4人參加.已知國家一線隊共6名隊員,二線隊共4名隊員.
(1)求恰好有3名國家一線隊隊員參加比賽的概率;
(2)設(shè)隨機變量表示參加比賽的國家二線隊隊員的人數(shù),求的分布列.
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